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11.11.09 Integralrechnung

Beispiele Integralrechnung mit unserem "Schema" und 224/5c

Die Parabel -1/4x²+2x schließt mit der y-Achse und der Tangente im Kurvenpunkt P₀ (6;?) ein Flächenstück vollständig ein. Wie groß ist diese Fläche?

1. Tangente

f'(x)=-1/2x+2

f'(6)=-1 =>y=-1*6+t

f(6)= 3 => 3=-1*6 +t => t=9

y=-x+9

2. Flächenberechnung

$\int_{0}^{6} f (-x+9-(-1/4x^2+2x))\,dx$ $=...=18$

d) Für welchen Wert von a liegt zwischen G_p und G_g_a keine Fläche? Welche besondere Lage hat dann G_p zu G_g_a?

1.Bestimmen der Schnittpunkte:

f(x)=0;

a * x - b * x³ = 0;

x (a - b * x²)=0

--> Mitternachtsformel: x₁= 0; x₂= $-\frac{\sqrt{ab} }{b}$ ; x₃= $\frac{\sqrt{ab} }{b}$

2.Berechnung des Integrals:

F(x)= $\int_{0}^{\frac{\sqrt{ab} }{b} } f (x)\,dx$ = ... = $\frac{a^2}{2b}-\frac{a^2}{4*b}=\frac{9}{4}$

I. $\frac{a^2}{2b}-\frac{a^2}{4*b}=\frac{9}{4}$

II. f´(1) = 0 ; a - 3b = 0; a = 3b eingesetzt in I.: b = 1 → a = 3

$F'(x)= f(x) = a * x^2+b*x+c$

1. F hat Extremum in x = 5, d.h. f(5) = 0

25 a + 5 b + c = 0

2. f (1) = 4/7

a + b + c = 4/7

3. F hat Nullstelle in x = 3, d.h. F(3)=0

3 a + 3/2 b + c = 0

Ergebnis: a = 1/2; b = -22/7;  c = 45/14