Schluss

Arbeitsauftrag:

• Hole dir das Arbeitsblatt Die Satzgruppe des Pythagoras
• Fülle das Arbeitsblatt anhand der im Lernpfad gelernten Sätze aus
• HINWEIS: Solltest du dir bei einem der Sätze nicht mehr sicher sein, lies noch einmal im Heft oder im Lernpfad nach
• Vergleiche deine Lösungen mit den Einträgen aus dem Heft oder mit den entsprechenden Seiten des Lernpfades

Arbeitsauftrag:

• Hole dir das Übungsblatt zur Satzgruppe des Pythagoras
• Löse die Aufgaben und vergleiche sie mit den unten stehenden Lösungen

Aufgabe 1

a) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

• Wenn das Dreieck $\triangle{KLM}$ rechtwinklig ist, ergibt der Satz des Pythagoras eine wahre Aussage
• Man muss also den Satz des Pythagoras für das Dreieck ansetzen
• Dazu berechnet man zunächst die einzelnen Seitenlängen:
  

• $\overline{KL}=\sqrt{(7-1)^2+(1-1)^2}=6$
  

• $\overline{LM}=\sqrt{(7-1)^2+(2-1)^2}=\sqrt{37}$
  

• $\overline{KM}=\sqrt{(1-1)^2+(2-1)^2}=1$
  

• Nun kann man den Satz des Pythagoras ansetzen
  
• $\overline{LM}=\sqrt{37}$ ist die längste Seite des Dreiecks und wäre auch die Hypotenuse
  
  
• Daraus folgt der Ansatz:
  
  
• $(\overline{LM})^2=(\overline{KL})^2+(\overline{KM})^2$
• $\Leftrightarrow (\sqrt{37})^2=6^2+1^2$
• $\Leftrightarrow {37=37\,}$
  
  
• Der Satz des Pythagoras ergibt eine wahre Aussage, also muss das Dreieck $\triangle{KLM}$ rechtwinklig sein

b) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

• Im Folgenden siehst du eine Skizze zur Aufgabenstellung:
  

• h soll berechnet werden, das geht über zwei Ansätze:
• 1) Höhe über den Satz des Pythagoras in einem der kleineren rechtwinkligen Dreiecke berechnen
• 2) Höhe über den Höhensatz berechnen
  
  

1.Möglichkeit:

• Man berechnet zunächst p oder q über den Kathetensatz:
  
• $(\overline{MK})^2=\overline{ML} \cdot q$
• $q=\frac{(\overline{MK})^2}{\overline{ML}}=\frac{36}{\sqrt{37}} \approx 5,92$
  
  

• Danach setzt man den Satz des Pythagoras für das entsprechende rechtwinklige Dreieck an:
  
• $(\overline{MK})^2=h^2+q^2$
• $h^2=(\overline{MK})^2-q^2$
• $h=\sqrt{(\overline{MK})^2-q^2}=\sqrt{6^2-(5,92)^2} \approx 0,99$
  
  

2.Möglichkeit:

• Man berechnet zunächst p oder q über den Kathetensatz:
  
• $(\overline{KL})^2=\overline{ML} \cdot p$
• $p=\frac{(\overline{KL})^2}{\overline{ML}}=\frac{1}{\sqrt{37}} \approx 0,16$
  
  

• Danach berechnet man den fehlenden Hypotenusenabschnitt:
  
• ${h=p+q\,}$
• $q=h-p=\sqrt{37}-0,16 \approx 5,92$
  
  

• Jetzt kann man die Höhe über den Höhensatz berechnen:
  
• $h^2=p \cdot q$
• $h=\sqrt{p \cdot q}=\sqrt{(0,16) \cdot (5,92)} \approx 0,99$

Aufgabe 2

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• Wähle ${Hypotenuse=a\,}$, ${Kathete_1=b\,}$ und ${Kathete_2=c\,}$
  
  

• Die beiden Hypotenusenabschnitte ergeben addiert die Länge der Hypotenuse
• ${a=g+h=3cm+5cm=8cm\,}$
  
  

• Die Höhe kann man über den Höhensatz berechnen:
  
• ${h^2=g \cdot h\,}$
• $h=\sqrt{g \cdot h}=\sqrt{3cm \cdot 5cm}=\sqrt{15}cm$
  
  

• Die beiden Katheten können über den Kathetensatz berechnet werden:
• Wähle ${g\,}$ anliegend an ${b\,}$ und ${h\,}$ anliegend an ${c\,}$
  
• ${b^2=a \cdot g\,}$
• $b=\sqrt{a \cdot g}=\sqrt{\sqrt{15}cm \cdot 3cm} \approx 3,41cm$
  
  
• ${c^2=a \cdot h\,}$
• $c=\sqrt{a \cdot h}=\sqrt{\sqrt{15}cm \cdot 5cm} \approx 4,40cm$
  
  
• Die Länge der beiden Katheten könnte auch über den Satz des Pythagoras in den kleineren rechtwinkligen Dreiecken, die durch das Einzeichnen der Höhe entstehen, berechnet werden
• Die zweite Kathete könnte auch über den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck $\triangle{ABC}$ berechnet werden

Aufgabe 3

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• Die Bilddiagonale ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks (vgl. Grafik zu Aufgabe 20 in deinem Mathematik Buch auf S.48)
• Die Katheten verhalten sich dabei wie 16 Teile zu 9 Teilen
• Wähle ein Teil als ${x\,}$
• Damit hat die Breite ${16x\,}$ und die Höhe ${9x\,}$
• Damit kann man den Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Dreieck ansetzen:
  
• ${(80cm)^2=(16x)^2+(9x)^2\,}$
• ${6400cm^2=256x^2+81x^2\,}$
• ${6400cm^2=337x^2\,}$
• $x^2=\frac{6400}{337}cm^2$
• $x=\sqrt{\frac{6400}{337}}cm \approx 4,36cm$
  
  

Die Breite beträgt ${16x\,}$

• ${b=16 \cdot 4,36cm=69,76cm\,}$
• $69,76cm < 75cm \Rightarrow$ Der Fernseher passt in die Nische

Aufgabe 4

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• Bei einem Würfel sind alle Kanten gleich lang
• Die Diagonale ${d\,}$ über eine Seite des Würfels berechnet sich also wie folgt:
• ${d^2=(10cm)^2+(10cm)^2\,}$
• $d=\sqrt{100cm^2+100cm^2}=\sqrt{200}cm$
  
  

• Da alle Diagonalen gleich lang sind, muss das gesuchte Dreieck, das als Seiten drei Diagonalen hat, gleichseitig sein
• Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich so: $A_D=\frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
• Grundseite ist die Diagonale, es fehlt also noch die Höhe
• Die Idee zur Berechnung der Höhe in einem gleichseitigen Dreieck wurde bereits auf einem vorhergehenden Übungsblatt behandelt
• Du findest sie auf dieser Seite in Aufgabe 3
  
  

• $(\sqrt{200}cm)^2=(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{200}cm)^2+h^2$
• $h^2=(\sqrt{200}cm)^2-(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{200}cm)^2$
• $h=\sqrt{(\sqrt{200}cm)^2-(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{200}cm)^2}$
• $h=\sqrt{200cm^2-\frac{1}{4} \cdot 200cm^2}$
• $h=\sqrt{200cm^2-50cm^2}$
  
• $h=\sqrt{150}cm$
  
  

• Damit kann man den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen:
  
• $A_D=\frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
• $A_D=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{200}cm \cdot \sqrt{150}cm \approx 86,60cm^2$

Aufgabe 5

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

• Man kann das rechtwinklige Feld entweder über den Höhen- oder den Kathetensatz umwandeln
• Um dir die beiden Verfahren noch einmal anzusehen siehe auf den beiden folgenden Seiten nach:
• Umwandlung über den Höhensatz
• Umwandlung über den Kathetensatz

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