Höhensatz
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< Lernpfad zur Satzgruppe des Pythagoras
Version vom 6. Dezember 2008, 16:56 Uhr von Zehnder Moritz (Diskussion | Beiträge)
Der Höhensatz
Ein weiterer Satz aus der Satzgruppe des Pythagoras ist der Höhensatz.
Arbeitsauftrag:
- Zeichne das rechtwinklige Dreieck mit den Bezeichnungen in dein Heft
- Notiere dir die Bemerkungen rechts vom rechtwinkligen Dreieck
- Was kann man daraus folgern?
- Ausgangspunkt für die folgende Überlegung ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Höhe h und den Hypotenusenabschnitten p und q
- Aus diesem rechtwinkligen Dreieck kann man zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke machen
- Eines hat als Länge der Katheten p und h, das andere hat Katheten der Längen q und h
- Diese beiden rechtwinkligen Dreiecke kann man nun verschieden aneinander anlegen und so ein neues Dreieck erzeugen
- Die zwei Möglichkeiten seht ihr in den beiden folgenden Grafiken
Arbeitsauftrag:
- Hole dir das Arbeitsblatt Beweis zum Höhensatz
- Berechne auf dem Arbeitsblatt den Flächeninhalt der beiden unten stehenden Dreiecke!
- Was fällt dir auf?
- Was kann man daraus für den Flächeninhalt der blauen Teile folgern?
Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich so:
Fläche für Dreieck 1:
Fläche für Dreieck 2:
Folgerung:
- Die Dreiecke sind flächengleich
- In beiden Dreiecken tauchen das rote und das gelbe Dreieck auf
- Der blaue Flächeninhalt in beiden Dreiecken muss also die gleiche Fläche haben, da:
- und in beiden Dreiecken gleich
- Daraus folgt:
- Das heißt der Flächeninhalt der beiden blauen Dreiecke muss gleich sein
Da kann man sagen:
Denn und
Du hast den Höhensatz bewiesen. Hier geht es nun zum Hefteintrag.