LK Mathematik Abitur NRW 2007

Anwendungsaufgabe zu einer Potenzfunktion

Aufgabenstellung:

Um die Wasserstände eines Flusses vorherzusagen, kann man versuchen, die Durchflussgeschwindigkeit des Wassers an einer bestimmten Stelle des Flusses mit Hilfe geeigneter Funktionen zu beschreiben. Solche näherungsweise Beschreibungen der Durchflussgeschwindigkeiten seien z. B. gegeben durch die Funktionenschar $f_a (t) = \frac{1}{4}t^3 - a t^2 + a^2 t$, mit a > 0 .

Dabei gibt $f_a (t)$ die Durchflussgeschwindigkeit in $10^6 \frac{m^3}{Monat}$ (Millionen Kubikmeter pro Monat) und t die verstrichene Zeit in Monaten seit Beginn der Vorhersage $t = 0$ an. Die Funktionen $f_a$ berücksichtigen, dass es sich um einen Fluss handelt, der zeitweise austrocknet.

Aufgaben zur Wasserstandsaufgabe

• Berechnung der Zeitpunkte, in denen der Fluss austrocknet

• Bestimmung der maximalen und minimalen Volumina

• Bestimmung der größten Senkung der Durchflussgeschwindigkeit

• Theoretische Fragen zur Wasserstandsaufgabe

• Berechnung des Wasservolumens in den ersten sechs Monaten

• Volumengleicheit zweier verschiedener Funktionen bis zum Zeitpunkt t₀