2003 II

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2006 Infinitesimalrechnung II Download der Originalaufgaben: Abitur 2003 LK Mathematik Bayern - [[Media:|Lösung gesamt]] Erarbeitet von Straßheimer Florian, Etzel Andre

Aufgabe 1 Gegeben ist die Schar der in IR definierten Funktionen $f_k(x)=\frac{1}{2}\cdot(k-x)\cdot \sqrt{e^{x}}$ mit $k \in \mathbb R$ . Der jeweilige Graph von , wird mit $G_k\,$ bezeichnet. a) Geben Sie $f_k (0)\,$ sowie die Nullstelle von $f_k\,$ an. Untersuchen Sie das Verhalten von $f_k\,$ für $x\rightarrow -\infty$ und für $x\rightarrow +\infty$ br /> [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Zeigen Sie, dass f (x) 2 fk 2(x) 1 k′ =k′ = − gilt, und ermitteln Sie hiermit Funktionsterme der Ableitungen fk′′ und fk′′′ sowie einer Stammfunktion von fk . [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] c) Zeigen Sie, dass Gk genau einen Hochpunkt und genau einen Wendepunkt besitzt, und bestimmen Sie die Koordinaten dieser Punkte. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] d) Zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse G4 und G6 in ein gemeinsames Koordinatensystem ein. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] e) G4 schließt im zweiten Quadranten mit den Koordinatenachsen ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück ein. Begründen Sie, dass dieses einen endlichen Inhalt hat. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] f) Geben Sie an, welche Bedeutung die Funktion 2 ⋅ f6 für die Funktion f4 hat. Bestimmen Sie mit Hilfe von G6 aus Ihrer Zeichnung die positive Zahl z (auf eine Dezimale genau), für die f (x)dx 0 z 0 ∫ 4 = ist. Tragen Sie dazu entsprechende Hilfslinien in die Zeichnung ein und erläutern Sie Ihr Vorgehen. Überprüfen Sie Ihre graphisch gewonnene Näherungslösung, indem Sie z mit Hilfe des Taschenrechners auf eine Dezimale genau ermitteln. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Aufgabe 2 Das abgebildete Zelt - geometrisch betrachtet ein gerades Prisma - hat einen rechteckigen Grundriss mit den Seitenlängen a 2 3 und b. Die Front besteht aus einem Rechteck mit den Seitenlängen a 2 3 und a sowie einem aufgesetzten gleichschenkligen Dreieck der Höhe a. a) Zeigen Sie, dass für den Rauminhalt V des Zelts und für den Flächeninhalt S der benötigten Zeltplane (ohne Boden und Laschen, das Zelt ist vollständig geschlossen) gilt: V a b , S a ab 2 2 9 2 2 9 4 = 9 = + . [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Bestimmen Sie a und b so, dass V = 121,5 m3 ist und dass der Materialverbrauch an Zeltplane möglichst gering ist. Wie viele m2 Zeltplane werden in diesem Fall benötigt? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]