Lösung von Teilaufgabe e

Beweisführung zur n-ten Ableitung der Funktion $f_a$ durch vollständige Induktion

Hilfe zur vollständigen Induktion

Beweise, dass
$y=f_a^{(n)}(x)=(-1)^{n+1}\cdot(n-x+a)\cdot e^{a+2-x}$ die n-te Ableitung von $f_a (x) = ( x - a )\cdot e^{a+2-x}$ist. (Behauptung)

Beweis durch vollständige Induktion:

1. Induktionsanfang:

Die erste Ableitung ist: $f^{'}_a (x) = ( x - a - 1 )\cdot (-e^{a + 2 - x})$ (siehe Teilaufgabe a / Extrempunkte)
Die Behauptung stimmt damitmit überein:

$f_a^{(1)}(x)=(-1)^{1+1}\cdot(1-x+a)\cdot e^{a+2-x}$

$=(-1)^{2}\cdot(1-x+a)\cdot e^{a+2-x}$

$=1\cdot(1-x+a)\cdot e^{a+2-x}$

$=(1-x+a)\cdot e^{a+2-x}$

$=(x-a-1)\cdot (-e^{a+2-x})$

2. Induktionsschritt:

Anfangsgleichung: $f_a^{(n)}(x)=(-1)^{n+1}\cdot(n-x+a)\cdot e^{a+2-x}$

Zielgleichung: $f_a^{(n+1)}(x)=(-1)^{(n+1)+1}\cdot((n+1)-x+a)\cdot e^{a+2-x}$

Wenn die n-te Ableitung von f_a für n stimmt, muss sie auch für n+1 stimmen.
Dies soll nun bewiesen werden.
Der Beweis stimmt wenn $f_a^{(n)'}(x)= f_a^{(n+1)}(x)$