LK Mathematik Abitur NRW 2007

Angabe

Mit Hilfe der folgenden Funktion kann man beispielsweise die Wasserstände eines Flusses vorherzusagen. Diese Beschreibung der Durchflussgeschwindigkeit sei durch die Funktionenschar f_a mit $f(t) = \frac{1}{4} t^3 - a t^2 + a^2 t$, a > 0

Die Funktion gibt dabei die Durchflussgeschwindigkeit in 10⁶$\frac{m^3}{Monat}$ und t die verstrichene Zeit in Monaten seit Beginn der Vorhersage

(t = 0) an. Die Funktion berücksichtigt, dass es sich um einen Fluss handelt, der zeitweise austrocknet.

Aufgabe: Nullstellen

Es soll bestimmt werden, abhängig vom Parameter a, zu welchen Monaten kein Wasser durch den Fluss fließt.

Es sind die Zeitpunkte gesucht, an denen der y - Wert Kubikmeter in Millionen gleich Null ist. An dieser Nullstelle fließt also kein Wasser durch den Fluss. Aus der Animation des Applets kann man erkennen, dass jede Funktion f (t) zwei Nullstellen besitzt. dass die erste Nullstelle immer im Ursprung ist. N1( 0 / 0 ) dass die zweite Nullstelle von a abhängig ist, da sie sich, bei Wechsel von a, verändert. eine doppelte Nullstelle ist, da sie an der Stelle einen Vorzeichenwechsel der Steigung besitzt. Errechne rechnerisch die beiden Nullstellen der Funktion. Setze dazu die Funktion gleich Null. Rechnerische Lösung anzeigen Rechnerische Lösung verstecken Durch Ausklammern von t erhält man zum einen die erste Nullstelle, zum anderen auch eine quadratische Funktion, welche man mit Hilfe der Mitternachtsformel lösen kann. $f(t) = t (\frac{1}{4} t^2 - a t + a^2) \rightarrow t_1 = 0 \Rightarrow N_1\left( 0 / 0 \right)$ $\frac{1}{4} t^2 - a t + a^2 \rightarrow t_2 = 2a \Rightarrow N_2\left( 2a / 0 \right)$ Der Fluss trocknet zu den Zeitpunkten t = 0 und t = 2a aus, es fließt also kein Wasser durch den Fluss.

Aufgabe: Extremwerte

Es soll, in Abhängigkeit von a, ermittelt werden, zu welchen Zeitpunkten t ein relatives Maximum bzw. Minimum vorliegt. Diese Funktionswerte sollen berechnet werden.

Aufgabe: Extremwerte berechnen

Maxima und Minima sind Punkte auf einer Funktion, die in ihrem im Umkreis die höchsten beziehungsweise tiefsten Punkte auf dem Graphen sind. Um diese Extremwerte einer Funktion zu errechnen, wird die erste Ableitung benötigt. Die allgemeine Ableitungsregel ist: $f (x) = x^n \Rightarrow f'(x) = n * x$n-1 Bestimme nun die erste Ableitung der Funktion f. Ableitung f '(t) anzeigen Ableitung f '(t) verstecken $f'(t) = \frac{3}{4} t^2 - 2 a t + a^2$ Zur Bestimmung der Koordinaten der Extremwerte: Man setzt f '(t) = 0, erhält eine quadratische Gleichung, löst diese mit der Mitternachtsformel, und setzt die erhaltenen t - Werte in die Funktion ein und erhält somit die y - Koordinaten der Extremwerte E1 und E2. Errechne nun die Koordinaten der Extremwerte. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] $t_1 = 2 a \Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right)$ $t_2 = \frac{2}{3}a \Rightarrow E_2 \left( \frac{2}{3}a / \frac{8}{27}a^3 \right)$

Jeder Graph Ga besitzt zwei Extremwerte. In der Funktion f3 sind es die unten eingezeichneten Punkte. Man sieht deutlich, dass an der Stelle, an der die Ableitung (blaue Funktion) gleich Null wird, die Extremwerte liegen.

Aufgabe: Art der Extremwerte berechnen

Man hat nun die Extremwerte in Abhängigkeit von a ermittelt. Um nun zu prüfen ob es sich bei den Extrema um Maxima oder Minima handelt, kann man hier anhand verschiedener Lösungen vorgehen.

Lösung 1: Krümmungsverhalten an den Extremwerten Man bestimmt die zweite Ableitung, setzt die t - Werte der Extremwerte ein und überprüft, ob f ' ' (t - Koordinate Extremwert) < 0 $\rightarrow$ Rechtskrümmung bzw Rechtskurve $\Rightarrow$ relatives Maximum > 0 $\rightarrow$ Linkskrümmung bzw Linkskurve $\Rightarrow$ relatives Minimum Wäre die zweite Ableitung gleich Null, handelt es sich bei dem Extremwert um einen Terassenpunkt, dass heißt, dass die Steigung der Funktion keinen Vorzeichenwechsel an dieser Stelle hat. Gib mit dieser Lösungsmöglichkeit die Art der Extremwerte an. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] $f ''(t) = \frac{3}{2} t - 2a$ $f ''(2a) = \frac{3}{2} * 2a - 2a = a$ da a > 0 $\rightarrow$ Rechtskrümmung $\Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right)$ ist Minimum $f ''(\frac{2}{3}a ) = \frac{3}{2} * \frac{2}{3}a - 2a = - a$ da a größer als Null definiert ist, gilt $\rightarrow$ - (a) < 0 $\rightarrow$ Linkskrümmung $\Rightarrow E_2\left( \frac{2}{3}a / \frac{8}{27}a^3 \right)$ ist Maximum

Lösung 2: h - Methode Mit Hilfe der h - Methode untersucht man, wie sich der Graph "ein Stückchen links und ein Stückchen rechts" vom Extremwert verhält. Dazu nimmt man die erste Ableitung, setzt $\lim_{h\to0} f '(t_0 - h)$ und $\lim_{h\to0} f '( t_0 + h)$ ein. Dadurch erhält man das Verhalten der Steigung von Gf "ein Stückchen links und ein Stückchen rechts" vom Extremwert. Versuche auch, mit Hilfe der h - Methode, die Art der Extrempunkte zu bestimmen. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] $\lim_{h\to0} f '(2a - h)< 0$ und $\lim_{h\to0} f '(2a + h)> 0$ $\lim_{h\to0} f '(\frac{2}{3}a - h)> 0$ und $\lim_{h\to0} f '(\frac{2}{3}a + h)< 0$ Graphische Vorzustellung: $\Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right)$ ist Minimum, da links von t = 2a der Graph fällt. da rechts von t = 2a der Graph steigt. $\Rightarrow E_2\left( \frac{2}{3}a / \frac{8}{27}a^3 \right)$ ist Maximum da links von t = $\frac{2}{3}a$ der Graph steigt. da rechts von t = $\frac{2}{3}a$ der Graph fällt.

Lösung 3: Vorzeichentabelle

Man schreibt die Ableitung nicht als Summen, sondern als Produkte. Dies ist möglich, da man bereits die Nullstellen der Ableitungsfunktion errechnet hat. Die Ableitungsfunktion kann dann auch als $f '(t)= \left( x - t_1 \right) * \left( x - t_2 \right)$, geschrieben werden. Hier sind die Werte t1 und t2 die t - Werte der Extrempunkte. Nun stellt man eine Vorzeichentabelle für jeden Faktor auf und erhält durch multiplizieren der Vorzeichen das Monotonieverhalten und dadurch die Arten der Extremwerte. Erstelle mit Hilfe des umgeformten Ableitungsproduktes eine Vorzeichentabelle und vergleiche sie mit dem rechts gezeigten Monotonieverhalten. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] $\Rightarrow f '(t) = \left( x - 2a \right) * \left( x - \frac{2}{3}a \right)$ Merke: Durch das Aufstellen einer Vorzeichentabelle erhält man das Monotonieverhalten des Graphen und kann sich somit die Art der Extremwerte erschließen.

Monotonieverhalten des Graphen Gf

Aufgabe: Wendepunkt

Es soll, in Abhängigkeit von a bestimmt werden, wann die Druchflussgeschwindigkeit besonders stark absinkt. Dieser Wert soll zum Zeitpunkt t berechnet werden.

Hier ist der Punkt gesucht, an dem die Durchflussgeschwindigkeit am stärksten absinkt. Dazu schaut man sich die erste Ableitung näher an, da diese die Steigung eines Graphen Gf zeigt. Da es sich bei der ersten Ableitung um eine nach oben geöffnete Parabel handelt, ist das Minimum des Graphen gleichzeitig der Punkt, an dem die Steigung besonders stark abfällt. Es ist also das Minimum der ersten Ableitung gesucht. $\Rightarrow f ''(t) = 0$ An dem erhaltenem Punkt besitzt der Graph Gf den größten negativen Steigungswert. Dieser Punkt heißt Wendepunkt. An ihm ändert der Graph sein Krümmungsverhalten. Errechne die Koordinaten des Wendepunktes. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] $\Rightarrow f ''(t)= 0 \rightarrow \frac{3}{2} t - 2a = 0 \Rightarrow t = \frac{4}{3}a$ $f ( \frac{4}{3}a ) = \frac{4}{27}a^3 \Rightarrow WP \left( \frac{4}{3}a / \frac{4}{27}a^3 \right)$ Der Punkt, an welchem die Funktion besonders stark abfällt ist zugleich der Wendepunkt $WP \left( \frac{4}{3}a / \frac{4}{27}a^3 \right)$ Merke: Es handelt sich nur um einen Wendepunkt, wenn folgende Kriterien erfüllt sind. $\Rightarrow f''(t_0) = 0$ $\Rightarrow f'''(t_0) \neq 0$

Die blaue Funktion zeigt die Ableitung f '(t) der schwarzen Funktion f (t).

Aufgabe: Theoretische Überlegungen zur Funktion

Warum liegt kein Punkt der Funktionsgraphen von f_a im Bereich $t \ge 0$ unterhalb der t - Achse und inwiefern ist dies mit dem zugrunde liegenden Sachverhalt vereinbar.

Begründe dies.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Es liegt kein Punkt im Intervall $t \ge 0$ unterhalb der t - Achse, da es hier um eine Funktion mit realem Bezug geht. Läge ein Punkt bei der gegebenen Aufgabenstellung im vierten Quadranten, würde dies bedeuten, dass eine negative Durchflussgeschwindigkeit vorliegt. Dies ist nicht möglich, da sonst ein negatives Volumen an Wasser im Fluss vorhanden wäre. Deshalb ist kein Punkt der Funktionsgraphen f_a im vierten Quadranten definiert.

Um das Verhalten eines Graphen, welcher gegen $+ \infty$ geht, zu bestimmen, wird statt f (t) $\lim_{t\to\infty} f (t)$ geschrieben. Um nun bei einer Potenzfunktion den Grenzwert zu ermitteln, klammert man die höchste Potenz aus, erhält ein Produkt und kann somit leichter, als bei einer Summe, den Grenzwert bestimmen.

Bestimme das Verhalten von f_a für $t \rightarrow \infty$ angegeben werden.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

$\lim_{t\to\infty} f (t) = \lim_{t\to\infty} \frac{1}{4} t^3 - a t^2 + a^2$

$\lim_{t\to\infty} t^3 \left( \frac{1}{4} - \frac{a}{t} + \frac{a^2}{t^2} \right)$

$\lim_{t\to\infty} \infty * \frac{1}{4} = \infty$

Für$t\to\infty$geht die Funktion gegen + $\infty$

Des Weiteren soll begründet werden, ob die Funktionen auch nach den ersten 8 Monate noch eine sinnvolle Beschreibung der Durchflussgeschwindigkeit liefern, aufgrund des berechneten Grenzwertes in der vorherigen Aufgabe.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Nach den ersten 8 Monaten verhält sich die Funktion so, dass sie immer stärker ansteigt. Dies ist an der Parabel, welche die Steigung anzeigt, erkennbar. Da die Funktion f_a (t) vorhersagen soll, wieviel Wasser sich zu einem Zeitpunkt t im Wasser befindet. Wenn man nun, anhand der Funktion vorhersagen soll, wieviel Wasser in zwei Jahren ( also 24 Monaten ) ergibt sich ein Wasserstandswert, der mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit nicht erreicht werden wird.

Nehmen wir nun mal das Beispiel t = 24 und a = 3.

$\frac{1}{4}*24^3 - 24^2*3 + 24*3^2= 1944$

Da das Ergebnis in Millionenkubikmeter pro Monat angegeben ist, wäre dann der Wert $1,944*10^9 \frac{m^3}{Monat}$. Dieser Wasserstandswert wäre eine ziemlich grobe Abweichung vom Realwert. Aus diesem Grund handelt es sich bei der Funktion eher um eine Sinusähnliche Funktion, als um eine, die gen Unendlich exponential ansteigt. Dies würde heißen, dass das zweite Austrocknen auf der t - Achse verschoben wird, wieder als t = 0 definiert werden würde, und die Funktion f_a (t) wieder von vorne starten würde.

Aufgabe: Flächenberechnung einer Funktion

Ermittle für a = 3, wie viel Liter Wasser in den ersten sechs Monaten durch den Fluss fließen.

Um Auszurechnen, wieviel Kubikliter Wasser durch den Fluss fließen, errechnet man die Fläche unter der Funktion. Einfache, bereits bekannte Flächenberechnungen gibt es bei linearen Funktionen. Um hier die Fläche auszurechnen, die der Graph mit der x - Achse einschließt, nimmt man einfach die gebräuchlichen Flächenformeln, wie die Rechtecksformel oder die Dreiecksformel.

Hier siehst du ein Beispiel dazu.

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1. Hier lässt sich die Fläche unter dem Graphen leicht ausrechnen. Man summiert die Quadratfläche und die Dreiecksfläche und erhält somit die komplette Fläche unter dem Graphen.

Quadratfläche:$4^2 = 16$

Dreieckfläche:$\frac{1}{2} * 4 * 2 = 4$

$\Rightarrow 16 + 4 = 20$

Die markierte Fläche unter dem Graphen hat einen Flächeinhalt von 20.

2. Es lässt sich aber auch durch Integration lösen. Dazu wandelt man eine Funktion f (t) in F (t) anhand der Integrationsformel um .

( siehe unten) Integriert wird die Funktion von 0 bis 4.

$\Rightarrow \int_{0}^{4} f (x)\,dx = \int_{0}^{4} \frac{1}{2}x + 4 \,dx = \left[ \frac{x^2}{4} + 4x \right]_{0}^{4}$

Nun setzt man für x die obere Grenze ein, und zieht davon die untere Grenze ab, die auch für x eingesetzt wird.

$\Rightarrow \left[ \frac{4^2}{4} + 4*4 \right] - \left[ \frac{0^2}{4} + 4*0 \right]$

$\rightarrow 20 - 0 = 20$

Durch Integration erhält man das selbe Ergebnis, wie mit der Flächenberechnung.

Bei Funktionen mit höcheren Potenzen benötigt man die Hilfe der Integralrechnung.

Es muss gelten: F' (t) = f (t)

Die allgemeine Integrationsregel: $\int_{a}^{b} x^n \,dx = \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} \right]_{a}^{b}$

a ist die untere Grenze, b die obere. Die Funktion wird im Intervall [ a; b ] integriert.

Gebe die Funktion F (t) an und errechne mit ihr für a = 3, wieviel Liter in den ersten sechs Monaten durch den Fluss geflossen sind.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

$\int_{x}^{y} f (t)\,dt = \frac{1}{16}t^4 - \frac{a*t^3}{3} + \frac{a^2*t^2}{2} + c$

Die obere Grenze ist: 6 Nach den ersten sechs Monaten

Die untere Grenze ist: 0

$\int_{0}^{6} f (t)\,dt =$ $\left[ \frac{1}{16}t^4 - \frac{3*t^3}{3} + \frac{3^2*t^2}{2}\right ]_{0}^{6} = 27 - 0 = 27$

Für a = 3 fließen in den ersten sechs Monaten 27*10⁹ Liter Wasser durch den Fluss. ( 27*10⁶ m³ = 27*10⁹ Liter)

Merke: Die Funktion muss im Intervall stetig und differenzierbar sein ! Ist dies nicht erfüllt, ist eine Integration nicht möglich.

Aufgabe: Flächengleichheit zweier Funktionen

Betrachte nun zwei unterschiedliche Funktionen f_a1 und f_a2. Es soll der Zeitpunkt bestimmt werden, zu dem für beide Funktionsannahmen (seit t = 0) genau gleich viel Wasser durch den Fluss geflossen wäre.

Entwicklung einer Idee: Die Aufgabe kann man sich so vorzustellen, dass für zwei verschiedene a, bis zu einer bestimmten Grenze, hier die gesuchte obere Grenze die Flächen unter dem Graphen der jeweiligen Funktion, gleich groß sind. Schön ist im Applet zu sehen, dass die blaue Fläche immer genauso groß ist, wie die rote Fläche, obwohl die Flächen nicht deckungsgleich sind. Durch Veränderung der Schieberegler fällt auf, dass der Zeitpunkt t0 sowohl von a, als auch von b, abhängig sein muss. Nun kann man durch Gleichsetzen zweier unterschiedlicher Funktionen Fa und Fb die obere Grenze errechnen.

c: Flächeninhalt blau, d: Flächeninhalt rot

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Im Weiteren wird eine Funktion mit Parameter a, die andere mit Parameter b bezeichnet. Wobei gilt:

$a \neq b$

F_a (t) = F_b (t)

$\frac{1}{16}t^4 - \frac{a*t^3}{3} + \frac{a^2*t^2}{2} = \frac{1}{16}t^4 - \frac{b*t^3}{3} + \frac{b^2*t^2}{2}$

$\frac{t^3}{3} \left( b - a \right) + \frac{t^2}{2} \left( a + b\right) \left( a - b \right) = 0$

$\left( b - a \right) * \left( \frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} \left( a + b \right) \right) = 0$

$\left( b - a \right) \neq 0 \Rightarrow \frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} \left( a + b \right) = 0$

$2 t^3 = 3 t^2 \left( a + b \right) // * \frac{1}{t^2}$

$\Rightarrow t = \frac{3a+3b}{2}$

Somit sind zwei Funktionen F_a und F_b flächenmäßig gleich groß, wenn für frei wählbares a und b gilt, dass sie bis

$t_0 = \frac{3a+3b}{2}$ integriert werden. Bei t₀ handelt es sich um die obere Integrationsgrenze.