Lösung von Teilaufgabe c

Tangente im Punkt W_a( a + 2 / 2 ) an G_fa mit dem Schnittpunkt A (0 / 2012 )

Lösung; Tangentengleichung

Tangentengleichung: siehe Formelsammlung Seite 58

$y = f^{'}( x_0 )\cdot ( x - x_0 ) + f ( x_0)$

mit:
x = 0
y = 2012
$x_0 = a + 2$
$f_a( x_0 ) = f_a( a + 2 ) = 2$
$f^{'}_a( x_0 ) = f^{'}_a( a + 2 ) = m = -1$

         $f^{'}_a( a + 2 ) = e^{a + 2 - ( a + 2 )}\cdot ( 1 + a - ( a + 2 ) )$

                     $= e^{a + 2 - a - 2 }\cdot ( 1 + a -  a - 2 ) )$

                     $= e^{0}\cdot ( -1 ) ) = -1$

    $y = f^{'}_a( a + 2 )\cdot ( x - ( a + 2 )) + f ( a + 2 )$
    $y = (-1)\cdot ( x - a - 2 ) + 2$
    y = -x + a + 2 + 2 
    y = -x + a + 4 
 2012 = 0 + a + 4          | -4
    a = 2008

Lösung; Fußweg

                 $y = m\cdot x + t$ 
           $f_a( x_0 ) = f^{'}_a( x_0 )\cdot x_0 + t$  
        $f_a( a + 2 ) = f^{'}_a( a + 2 )\cdot x_0 + t$
                $2 = -1\cdot x_1 + t$            $| - ( -1\cdot x_0)$
                $t = 2 - ( -1\cdot x_0 )$
                $t = 2 - ( -1\cdot ( a + 2 ))$
                t = 2 - ( -a - 2)
                t = 2 + a + 2 
                t = a + 4                                        $|einsetzen in y = m\cdot x + t$ 

    $y = m\cdot x + a + 4$
$2012 = -1\cdot 0 + a + 4$
 2012 = a + 4 
    a = 2008

Lösung; Clever

$\frac{y2 - y1}{x2 - x1} = f{'}_a ( x )$

$\frac{2012 - 2}{0 - ( a + 2 )} = -1$

$\frac{2010}{(-a - 2 )} = -1$                $| \cdot( -a - 2 )$

2010 = a + 2
2008 = a

Berechnung derjenigen Punkte, für welche die Tangente an den Graphen von f₂ durch den Ursprung verläuft

Verwendung der Tangentialgleichung

y = f'( x0 ) ( x - x0 ) + f ( x0 )

y = ( x0 - a - 1 ) ( -ea + 2 - x0 ) ( x - x0 ) + ( x0 - a ) ea + 2 - x0

mit:

y = 0

x = 0

a = 2

    0 = ( x0 - 3 ) ( -e4 - x0 ) ( -x0 ) + ( x0 - 2 ) ( e4 - x0 )
    0 = ( x0 - 3 ) ( e4 - x0 ) ( x0 ) + ( x0 - 2 ) ( e4 - x0 )
    0 = ( x02 - 3x0 ) ( e4 - x0 ) + ( x0 - 2 ) ( e4 - x0 )
    0 = ( x02 - 3x0 + x0 - 2 ) ( e4 - x0 )
    0 = ( x02 - 2x0 - 2 ) ( e4 - x0 )                             | e4 - x0 > 0
--> 0 = ( x02 - 2x0 - 2 )

Lösen quadratischer Gleichungen mit Hilfe der Mitternachtsformel Mitternachtsformel

$x_{1,2} = \frac{2\pm\sqrt{4--8}}{2}$

$x_{1,2} = \frac{2\pm\sqrt{4+8}}{2}$

$x_{1,2} = \frac{2\pm\sqrt{12}}{2}$

$x_{1,2} = \frac{2\pm\sqrt{4\cdot 3}}{2}$

$x_{1,2} = \frac{2\pm2\cdot\sqrt{3}}{2}$

$x_{1,2} = {1\pm\sqrt{3}}$

      $f_a(x_1) =
       f_a(1 + \sqrt{3}) = ( 1 + \sqrt{3} - a )\cdot e^{a + 2 - ( 1 + \sqrt{3})}$

                     $= ( 1 + \sqrt{3} - 2 )\cdot e^{2 + 2 - ( 1 + \sqrt{3})}$

                     $= ( \sqrt{3} - 1 )\cdot e^{4 - 1 - \sqrt{3})}$

                     $= ( \sqrt{3} - 1 )\cdot e^{3 - \sqrt{3})}$

                     $\approx 2,601$

                     $\Rightarrow B_1(1 + \sqrt{3} / 2,601)$

      $f_a(x_2) =
       f_a(1 - \sqrt{3}) = ( 1 - \sqrt{3} - a )\cdot e^{a + 2 - ( 1 - \sqrt{3})}$

                     $= ( 1 - \sqrt{3} - 2 )\cdot e^{2 + 2 - ( 1 - \sqrt{3})}$

                     $= ( -\sqrt{3} - 1 )\cdot e^{4 - 1 + \sqrt{3})}$

                     $= ( -\sqrt{3} - 1 )\cdot e^{3 + \sqrt{3})}$

                     $\approx -310,164$

                     $\Rightarrow B_2(1 - \sqrt{3} / -310,164)$