Höhensatz

Der Höhensatz

Ein weiterer Satz aus der Satzgruppe des Pythagoras ist der Höhensatz.

Bevor du dich jedoch näher mit diesem Satz beschäftigst, musst du erst noch einige neue Bezeichnungen für Seiten in rechtwinkligen Dreiecken lernen: Die Höhe in einem rechtwinkligen Dreieck steht immer senkrecht auf die Hypotenuse Die Höhe teilt die Hypotenuse in zwei Teile, die Hypotenusenabschnitte (in der Zeichnung p und q) Die Hypotenuseabschnitte liegen jeweils an einer der beiden Katheten an In diesem Fall kann man sagen: p liegt an der Kathete a an q liegt an der Kathete b an

Arbeitsauftrag:

• Zeichne das oben stehende rechtwinklige Dreieck mit den Seitenbezeichnungen unter der Überschrift Der Höhensatz in dein Heft

• Notiere dir die Bemerkungen rechts vom rechtwinkligen Dreieck

• Wenn du damit fertig bist betrachte die folgenden Grafiken

• Ausgangspunkt für die folgende Überlegung ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Höhe h und den Hypotenusenabschnitten p und q
  

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• Aus diesem rechtwinkligen Dreieck kann man zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke machen
• Eines hat als Länge der Katheten p und h, das andere hat Katheten der Längen q und h
  

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• Diese beiden rechtwinkligen Dreiecke kann man nun verschieden aneinander anlegen und so ein neues rechtwinkliges Dreieck erzeugen
• Die zwei Möglichkeiten neue rechtwinklige Dreiecke zu erzeugen seht ihr in den beiden folgenden Grafiken

Arbeitsauftrag:

• Hole dir das Arbeitsblatt Beweis zum Höhensatz

• Berechne auf dem Arbeitsblatt den Flächeninhalt der beiden unten stehenden Dreiecke!

• Was fällt dir auf?

• Was kann man daraus für den Flächeninhalt der blauen Teile folgern?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich so: $A_{Dreieck}=\frac{1}{2} \cdot G \cdot h$

Fläche für Dreieck 1:

• ${A_D}_1=\frac{1}{2}(h+p)(h+q)$
  
  

Fläche für Dreieck 2:

• ${A_D}_2=\frac{1}{2}(p+h)(q+h)$

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Folgerung:

• Die Dreiecke sind flächengleich
• In beiden Dreiecken tauchen das rote und das gelbe Dreieck auf
• Der blaue Flächeninhalt in beiden Dreiecken muss also die gleiche Fläche haben, da:
• ${A_D}_1={A_D}_2$
• ${A_{gelb}\,}$ und ${A_{rot}\,}$ in beiden Dreiecken gleich
  
• Daraus folgt:${A_D}_1-A_{rot}-A_{gelb}={A_D}_2-A_{rot}-A_{gelb}=A_{blau}$
  
  
• Das heißt der Flächeninhalt der beiden blauen Teile muss gleich sein

Da ${A_{blau}}_1={A_{blau}}_2$kann man sagen:

${h^2=pq\,}$

Denn ${A_{blau}}_1=h \cdot h$ und ${A_{blau}}_2=p \cdot q$

• In jedem beliebigen rechtwinkligen Dreieck gilt also:
• Das Quadrat über der Höhe ist gleich dem Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten

Du hast den Höhensatz bewiesen. Hier geht es nun zum Hefteintrag.