Höhensatz

Der Höhensatz

Ein weiterer Satz aus der Satzgruppe des Pythagoras ist der Höhensatz.

Bevor du dich jedoch näher mit diesem Satz beschäftigst, musst du erst noch einige neue Bezeichnungen für Seiten in rechtwinkligen Dreiecken lernen: Die Höhe in einem rechtwinkligen Dreieck steht immer senkrecht auf die Hypotenuse Die Höhe teilt die Hypotenuse in zwei Teile, die Hypotenusenabschnitte (in der Zeichnung p und q) Die Hypotenuseabschnitte liegen jeweils an einer der beiden Katheten an p liegt an der Kathete a an q liegt an der Kathete b an

Grafiken zu Beweis von Höhensatz:

Arbeitsauftrag:

• Zeichne die oben stehende Grafik in dein Heft und notiere dir die Bemerkungen zur Benennung der Seiten!

• Berechne den Flächeninhalt der beiden Dreiecke!

• Was fällt dir auf?

• Was kann man daraus folgern?

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Fläche für Dreieck 1:

• ${A_D}_1=\frac{1}{2}(h+p)(h+q)$
  
  

Fläche für Dreieck 2:

• ${A_D}_2=\frac{1}{2}(p+h)(q+h)$

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Folgerung:

• Die Dreiecke sind Flächengleich
• In beiden Dreiecken tauchen das rote und das gelbe Dreieck auf
• Der blaue Flächeninhalt in beiden Dreiecken muss also die gleiche Fläche haben, da:
• ${A_D}_1={A_D}_2$
• ${A_{gelb}\,}$ und ${A_{rot}\,}$ in beiden Dreiecken gleich
  
• Daraus folgt:${A_D}_1-A_{rot}-A_{gelb}={A_D}_2-A_{rot}-A_{gelb}=A_{blau}$
  
  

Da ${A_{blau}}_1={A_{blau}}_2$kann man sagen:

${h^2=pq\,}$

Du hast den Höhensatz bewiesen. Hier geht es nun zum Hefteintrag.