Abi 2013 Analysis I Teil B

Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2013 Analysis I - Teil B Download der Originalaufgaben - Lösung zum Ausdrucken

Aufgabe 1 Gegeben ist die in IR definierte Funktion $f:x \mapsto 2x \cdot e^{-0,5x^{2}}$. Abbildung 2 zeigt den Graphen Gf von f. 350px a) Weisen Sie rechnerisch nach, dass Gf punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist, und machen Sie anhand des Funktionsterms von f plausibel, dass $\lim_{x\to\infty} f(x)=0$ gilt. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b)Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art der Extrempunkte von Gf. zur Kontrolle $f':x= 2e^{-0,5x^{2}} \cdot (1-x^{2})$ y-Koordinate des Hochpunkts: $\frac{2}{\sqrt{e}}$ [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] c) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate mS von f im Intervall [0,5; 0,5] sowie die lokale Änderungsrate mT von f an der Stelle x = 0 . Berechnen Sie, um wie viel Prozent mS von mT abweicht. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] d) Der Graph von f, die x-Achse und die Gerade x = u mit u ∈ IR+ schließen für 0 ≤ x ≤ u ein Flächenstück mit dem Inhalt A(u) ein. Zeigen Sie, dass $A(u)=2-2e^{-0,5u^{2}}$ gilt. Geben Sie $\lim_{u\to\infty} A(u)$ an und deuten Sie das Ergebnis geometrisch. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] e) Die Ursprungsgerade h mit der Gleichung $y=\frac{2}{e^{2}} \cdot x$ schließt mit Gf für x≥0 ein Flächenstück mit dem Inhalt B vollständig ein. Berechnen Sie die x-Koordinaten der drei Schnittpunkte der Geraden h mit Gf und zeichnen Sie die Gerade in Abbildung 2 ein. Berechnen Sie B. (Teilergebnis x-Koordinaten eines Schnittpunkts: 2) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Im Folgenden wird die Schar der in IR definierten Funktionen g_c(x) = f(x)+c mit c ∈ IR betrachtet.

2 a)Geben Sie in Abhängigkeit von c ohne weitere Rechnung die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von g_c sowie das Verhalten von g_c für x→+∞ an.

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b)Die Anzahl der Nullstellen von g_c hängt von c ab. Geben Sie jeweils einen möglichen Wert von c an, sodass gilt:

α) g_c hat keine Nullstelle.

β) g_c hat genau eine Nullstelle.

γ) g_c hat genau zwei Nullstellen.

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c) Begründen Sie für c > 0 anhand einer geeigneten Skizze, dass

$\int_{0}^{3} g_{c}(x)\,dx =  \int_{0}^{3} f(x)\,dx + 3c$ gilt. 

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3 Die Anzahl der Kinder, die eine Frau im Laufe ihres Lebens durchschnittlich zur Welt bringt, wird durch eine sogenannte Geburtenziffer angegeben, die jedes Jahr statistisch ermittelt wird. Die Funktion $g_{1,4}: x \mapsto 2x \cdot e^{-0,5x^{2}}+1,4$ beschreibt für x≥0 modellhaft die zeitliche Entwicklung der Geburtenziffer in einem europäischen Land. Dabei ist x die seit dem Jahr 1955 vergangene Zeit in Jahrzehnten (d. h. x = 1 entspricht dem Jahr 1965) und g_1,4(x) die Geburtenziffer. Damit die Bevölkerungszahl in diesem Land langfristig näherungsweise konstant bleibt, ist dort eine Geburtenziffer von etwa 2,1 erforderlich.

a) Zeichnen Sie den Graphen von g_1,4 in Abbildung 2 ein und ermitteln Sie graphisch mit angemessener Genauigkeit, in welchem Zeitraum die Geburtenziffer mindestens 2,1 beträgt.

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b) Welche künftige Entwicklung der Bevölkerungszahl ist auf der Grundlage des Modells zu erwarten? Begründen Sie Ihre Antwort.

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c) Im betrachteten Zeitraum gibt es ein Jahr, in dem die Geburtenziffer am stärksten abnimmt. Geben Sie mithilfe von Abbildung 2 einen Nähe- rungswert für dieses Jahr an. Beschreiben Sie, wie man auf der Grundla- ge des Modells rechnerisch nachweisen könnte, dass die Abnahme der Geburtenziffer von diesem Jahr an kontinuierlich schwächer wird.

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