Abi 2016 Analysis I Teil B

Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2016 Analysis I - Teil B

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Aufgabe 1

Gegeben ist die in IR definierte Funktion $f:x \mapsto e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}$ . Der Graph von f wird mit G_f bezeichnet.

a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes von G_f mit der y-Achse und begünden Sie, dass G_f oberhalb der x-Achse verläuft.

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b) Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von G_f sowie das Verhalten von f für x→-∞ x→+∞.

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c) Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung f von f die Beziehung $f''(x)=\frac{1}{4}*f(x)$ für x∈IR gilt. Weisen Sie nach, dass G_f linksgekrümmt ist. (Zur Kontrolle $f'(x)= \frac{1}{2}\cdot (e^{\frac{1}{2}x}- e^{-\frac{1}{2}x})$ )

d)

e)

f)

g)

h)

Aufgabe 2

a)Die Enden eines Seils werden an zwei vertikalen Masten, die 8,00 m voneinander entfernt sind, in gleicher Höhe über dem Erdboden befestigt. Der Graph G_f aus Aufgabe 1 beschreibt im Bereich $-4 \le x \ge 4$ modellhaft den Verlauf des Seils, wobei die Fußpunkte F₁ und F₂ der Masten durch die Punkte (4\0) 