2005 VI

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2005 Analytische Geometrie VI Download der Originalaufgaben: Abitur 2005 LK Mathematik Bayern - Lösung gesamt Erarbeitet von Tanja Kraus

In einem kartesischen Koordinatensystem ist die Geradenschar ga : $\vec x = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot\begin{pmatrix} a \\ 1 \\ a+2 \end{pmatrix}$ mit a, $\lambda$ $\in$ $\mathbb{R}$- gegeben. Die Punkte A(10/0/0), B(0/5/0) und C(0/0/5) bestimmen eine Ebene, die mit E bezeichnet wird.

Aufgabe 1 a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform. [mögliches Ergebnis E: x1 + 2x2 + 2x3 - 10 = 0] 3 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Bemerkung Eine andere Möglichkeit wäre, mit Hilfe des Vektorprodukts den Normalenvektor der Ebene aufzustellen. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Berechnen Sie den Schnittwinkel zwischen der Geraden g-1 und der Ebene E. 3 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] . c) Zeigen Sie, dass die Gerade g-2 in der Ebene E liegt und echt parallel zur Geraden AB ist. 4 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] .

Aufgabe 2 a) Der Punkt C wird an der Geraden AB gespiegelt. Ermitteln Sie die Koordinaten des Spiegelpunkts C*. [Ergebnis: C* = (4/8/-5)] 5 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] . b) Weisen Sie nach, dass das Drachenviereck AC*BC den Flächeninhalt 75 hat. 4 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] . c) Die Gerade g-2 schneidet die Strecke [AC] im Punkt A' (8/0/1)und zerlegt das Dreieck ABC in zwei Teile (Nachweis nicht erforderlich). Berechnen Sie das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teile. 6 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] .

Aufgabe 3 In der Ebene H: x3 = 3 liegen zwei parallele Schienen s1 und s2.Die Schiene s1 wird durch die Gerade s1 : $\vec x = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \tau\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ mit $\tau$ $\in$ $\mathbb{R}$- a) Berechnen Sie die Koordinaten des Punkts S, in dem die Kugel die Schiene s1 berührt. [Ergebnis: S = (20/27/3)] 6 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] . b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Schiene s2. 5 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] . c) Die Kugel wird nun angestoßen und rollt auf die Ebene E zu. Geben Sie eine Gleichung der Geraden m an, auf der sich dabei der Mittelpunkt der Kugel bewegt. Begründen Sie, weshalb der Punkt, in dem die Kugel schließlich die Ebene E berührt, nicht mit dem Schnittpunkt von m und E zusammenfällt. 4 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] .