2006 V

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2006 Analytische Geometrie V. Download der Originalaufgaben: Abitur 2008 LK Mathematik Bayern - Lösung gesamt Erarbeitet von Johannes Brunnquell, Lea Mainberger, Maximilian Benkert

In einem kartesischen Koordinatensystem des $\mathbb{R}$3 ist die Ebene E: x2 - x3 - 1 = 0 , die Geradenschar gk : $\vec x = \begin{pmatrix} -k^2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ und die Gerade h : $\vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu \cdot\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ gegeben, wobei k, $\lambda$ und $\mu$ aus $\mathbb{R}$ sind. Aufgabe 1 a) Zeigen Sie: Alle Geraden der Schar gk sind zueinander parallel und liegen in der Ebene E. 3 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] . b) Begründen Sie, dass die Schar der Geraden gk eine Halbebene von E bildet. 4 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] . c) Für welche Werte von k schneidet gk die Gerade h? Ermitteln Sie die Koordinaten des Schnittpunkts S. [ Teilergebnis: S = (2/$\frac{5}{3}$/$\frac{2}{3}$) ] 5 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] . d) Projiziert man h senkrecht auf E, so erhält man die Gerade hE. Berechnen Sie den Winkel $\varphi$ zwischen hE und h in Grad auf eine Nachkommastelle gerundet. 5 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] . Aufgabe 2 Die Ebene E ist Tangentialebene an zwei Kugeln K1 und K2 mit dem Radius $5\sqrt{2}$, deren Mittelpunkte M1 und M2 auf der Gerade h liegen. a) Bestimmen Sie die Koordinaten von M1 und M2 . (Der Punkt mit ausschließlich ganzzahligen Koordinaten wird mit M1 bezeichnet.) [Teilergebnis: M1 = (2/5/-6)] 6 BE b) Die Kugelpunkte P $\in$ K1 und Q $\in$ K2 sind diejenigen Punkte, die minimale Distanz voneinander haben. Berechnen Sie die Entfernung [PQ] auf zwei Dezimalen gerundet. 3 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] . c) Spiegelt man die Ebene E am Punkt M1, so erhält man die Ebene E*. Geben Sie eine Gleichung von E* in Normalenform an. 4 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] . d) Zeigen Sie, dass die Punkte A (-1/0/-2) und C (-1/1/-1) auf der Kugel K1 um M1 liegen und bestimmen Sie die Koordinaten von B so, dass die Strecke [AB] ein Durchmesser von K1 ist. [Teilergebnis: B (5/10/-10)] 4 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] . e) Das Dreieck ABC ist die Grundfläche einer Pyramide ABCD, deren Spitze D ebenfalls auf der Kugel K1 liegt. Alle Punkte D, für die die Pyramiden ABCD das Volumen 11 haben, bilden zwei Kreise auf der Kugelfläche (Nachweis nicht erforderlich). Berechnen Sie zuerst die Höhe h dieser Pyramiden und anschließend mit Hilfe einer geeigneten Skizze den Radius R der beiden oben definierten Kreise. [Zur Kontrolle: h = $\sqrt{11}$] 6 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] .