Wendepunkt

Bestimmung der größten Senkung der Durchflussgeschwindigkeit

Es soll in Abhängigkeit von a bestimmt werden, wann die Druchflussgeschwindigkeit besonders stark absinkt. Dieser Wert soll zum Zeitpunkt t berechnet werden.

Hier ist der Punkt gesucht, an dem die Durchflussgeschwindigkeit am stärksten absinkt.

Dazu schaut man sich die erste Ableitung näher an, da diese die Steigung eines Graphen G_f zeigt.
Da es sich bei der ersten Ableitung um eine nach oben geöffnete Parabel handelt, ist das Minimum des Graphen gleichzeitig der Punkt, an dem die Steigung besonders stark abfällt.
Es ist also das Minimum der ersten Ableitung gesucht.

$\Rightarrow f ''(t) = 0$

An dem erhaltenem Punkt besitzt der Graph G_f den größten negativen Steigungswert. Dieser Punkt ist ein möglicher Wendepunkt. An ihm ändert der Graph sein Krümmungsverhalten.

Errechne die Koordinaten des möglichen Wendepunktes und überprüfe, ob es einer ist.

Merke: Es handelt sich nur um einen Wendepunkt, wenn folgende Kriterien erfüllt sind.

$\Rightarrow f''(t_0) = 0$

$\Rightarrow f'''(t_0) \neq 0$ ^[1]

$\Rightarrow f ''(t)= 0 \rightarrow \frac{3}{2} t - 2a = 0 \Rightarrow t = \frac{4}{3}a$

$f ( \frac{4}{3}a ) = \frac{4}{27}a^3 \Rightarrow WP \left( \frac{4}{3}a / \frac{4}{27}a^3 \right)$

Bei dem Punkt handelt es sich um einen Wendepunkt, da die dritte Ableitung $f'''(t) = \frac{3}{2} \Rightarrow f'''( \frac{4}{3}a ) = \frac{3}{2}$ ungleich Null ist.