Lösung von Teilaufgabe c

Tangente im Punkt W_a( a + 2 / 2 ) an G_fa mit dem Schnittpunkt A (0 / 2012 )

$mit:\;$

$x = 0\;$

$y = 2012\;$

$x_0 = a + 2\;$

$f_a( x_0 ) = f_a( a + 2 ) = 2\;$

$f^{'}_a( x_0 ) = f^{'}_a( a + 2 ) = m = -1\;$

$f^{'}_a( a + 2 ) = e^{a + 2 - ( a + 2 )}\cdot ( 1 + a - ( a + 2 ) )$

$= e^{a + 2 - a - 2 }\cdot ( 1 + a - a - 2 ) )$

$= e^{0}\cdot ( -1 ) )$

$= -1\;$

Lösung; Tangentengleichung

Tangentengleichung: siehe Formelsammlung Seite 58

$y = f^{'}( x_0 )\cdot ( x - x_0 ) + f ( x_0)$

$y = f^{'}_a( a + 2 )\cdot ( x - ( a + 2 )) + f ( a + 2 )$

$y = (-1)\cdot ( x - a - 2 ) + 2$

$y = -x + a + 2 + 2\;$

$y = -x + a + 4\;$

$2012 = 0 + a + 4\;\;\;\;\;\;\; | -4$

$a = 2008\;$

Lösung; Fußweg

$y = m\cdot x + t$

$f_a( x_0 ) = f^{'}_a( x_0 )\cdot x_0 + t$

$f_a( a + 2 ) = f^{'}_a( a + 2 )\cdot x_0 + t$

$2 = -1\cdot x_1 + t \;\;\;\;\;\; | - ( -1\cdot x_0)$

$t = 2 - ( -1\cdot x_0 )$

$t = 2 - ( -1\cdot ( a + 2 ))$

$t = 2 - ( -a - 2)\;$

$t = 2 + a + 2 \;$

$t = a + 4 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; |\;einsetzen\; in\; y = m\cdot x + t$

$y = m\cdot x + a + 4$

$2012 = -1\cdot 0 + a + 4$

$2012 = a + 4 \;$

$a = 2008\;$

Lösung; Clever

$\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = f{'}_a ( x )$

$\frac{2012 - 2}{0 - ( a + 2 )} = -1$

$\frac{2010}{(-a - 2 )} = -1 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;| \cdot( -a - 2 )$

$2010 = a + 2\;$

$2008 = a\;$

Berechnung derjenigen Punkte, für welche die Tangente an den Graphen von f₂ durch den Ursprung verläuft

Verwendung der Tangentialgleichung

$y = f^{'}( x_0)\cdot ( x - x_0 ) + f ( x_0 )$

$y = ( x_0 - a - 1 )\cdot ( -e^{a + 2 - x_0})\cdot ( x - x_0 ) + ( x_0 - a )\cdot e^{a + 2 - x_0})$

$mit:\;$

$y = 0\;$

$x = 0\;$

$a = 2\;$

$0 = ( x_0 - 3 )\cdot ( -e^{4 - x_0} )\cdot ( -x_0 ) + ( x_0 - 2 )\cdot ( e^{4 - x_0} )$

$0 = ( x_0 - 3 )\cdot ( e^{4 - x_0} )\cdot ( x_0 ) + ( x_0 - 2 )\cdot ( e^{4 - x_0} )$

$0 = ( x_0^{2} - x_0\cdot 3 )\cdot ( e^{4 - x_0} ) + ( x_0 - 2 )\cdot ( e^{4 - x_0} )$

$0 = e^{4 - x_0}\cdot ( x_0^{2} - 3\cdot x_0 + x_0 - 2 )$

$0 = e^{4 - x_0}\cdot ( x_0^{2} - 2\cdot x_0 - 2 )\;\;\;\;\;\;\;\;|e^{4 - x_0}>0$

$\Rightarrow ( x_0^{2} - 2\cdot x_0 - 2 ) = 0$

Lösen quadratischer Gleichungen mit Hilfe der Mitternachtsformel $x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4\cdot a\cdot c}}{2a}$

$x_{1,2} = \frac{2\pm\sqrt{4--8}}{2}$

$x_{1,2} = \frac{2\pm\sqrt{4+8}}{2}$

$x_{1,2} = \frac{2\pm\sqrt{12}}{2}$

$x_{1,2} = \frac{2\pm\sqrt{4\cdot 3}}{2}$

$x_{1,2} = \frac{2\pm2\cdot\sqrt{3}}{2}$

$x_{1,2} = {1\pm\sqrt{3}}$

$\Rightarrow x_{1} = {1 + \sqrt{3}}$

$\Rightarrow x_{2} = {1 - \sqrt{3}}$

$f_a(x_1)=\;$

$= f_a(1 + \sqrt{3})\;$

$= ( 1 + \sqrt{3} - a )\cdot e^{a + 2 - ( 1 + \sqrt{3})}$

$= ( 1 + \sqrt{3} - 2 )\cdot e^{2 + 2 - ( 1 + \sqrt{3})}$

$= ( \sqrt{3} - 1 )\cdot e^{4 - 1 - \sqrt{3})}$

$= ( \sqrt{3} - 1 )\cdot e^{3 - \sqrt{3})}$

$\approx 2{,}601$

$\Rightarrow B_1(1 + \sqrt{3} / 2{,}601)$

$f_a(x_2) =\;$

$= f_a(1 - \sqrt{3})\;$

$= ( 1 - \sqrt{3} - a )\cdot e^{a + 2 - ( 1 - \sqrt{3})}$

$= ( 1 - \sqrt{3} - 2 )\cdot e^{2 + 2 - ( 1 - \sqrt{3})}$

$= ( -\sqrt{3} - 1 )\cdot e^{4 - 1 + \sqrt{3})}$

$= ( -\sqrt{3} - 1 )\cdot e^{3 + \sqrt{3})}$

$\approx -310{,}164$

$\Rightarrow B_2(1 - \sqrt{3} / -310{,}164)$