Lösung zur Teilaufgabe b)

1. Eigenschaften einer Stammfunktion von f_a

1.) Von $-\infty < x < a$ verläuft der Graph G_fa unterhalb der x-Achse und ist somit negative. Daraus kann man schließen, das der Graph G_Fa in diesem Intervall streng monoton fallend ist.
Von $a < x < \infty$ verläuft der Graph G_fa oberhalb der x-Achse und ist somit positive. Daraus kann man schließen, das der Graph G_Fa in diesem Intervall streng monoton steigend ist.

2.)Bei $x = a$ ist der Graph G_fa gleich Null ( G_fa = 0 )und das Steiguungsverhalten von G_Fa ändertfür $x < a$ und $x > a$ das Vorzeichen. Deshalb kann man sagen das der Graph G_Fa an der Stell $x = a$ einen Extrempunkt, in diesem Fall einen Tiefpunkt ( Minimum ) hat, da sich das Monotonieverhalten von streng monoton fallend in streng monoton steigend verändert.

2. Bestimmung einer Stammfunktion von f_a durch partielle Integration

Hilfe zur partiellen Integration

$\int_{a}^{b}$ f_a ( x ) dx = ( x - a ) e^{a + 2 - x}

Definiere:

u ( x ) = x - a
u ^' ( x ) = 1

v ( x ) = e^{a + 2 - x}
v ^' ( x ) = -e^{a + 2 - x}

$\int_{a}^{b}$ f_a ( x ) dx = ( x - a ) e^{a + 2 - x}

                 = [( x - a ) -ea + 2 - x ]ba - $\int_{a}^{b}$ 1 -ea + 2 - x dx
                 = ( x - a ) -ea + 2 - x - ea + 2 - x
                 = -ea + 2 - x ( x - a + 1 )

                 --> Fa ( x ) = -ea + 2 - x ( x - a + 1 ) + c

für Interessierte: Der Holzweg

3. Flächenberechnung, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckenden Fläche, zwischen der x- Achse und der Funktion f₂ im I. Quadranten

Hinweis: $\lim_{x\to\infty}$xe^-x =0

Da die Nullstelle der Funktion f_a bei x = a liegt, folgt daraus, das die Nullstelle der Funktion f₂ bei x = 2 liegt. Das heißt, man muss von zwei bis unendlich integrieren.

$\int_{2}^{b}$ f₂ ( x ) =