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| | ;Aufgabe 1 | | ;Aufgabe 1 |
| − | Gegeben ist die Funktion f mit <math> f(x)=\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+3}</math> und Dafinitionsbereich D<sub>f</sub> = IR \ {-3;-1}. Der Graph von f wird mit G<sub>f</sub> bezeichnet.
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| − | a) Zeigen Sie, dass f(x) zu jedem der drei folgenden Terme äquivalent ist: | + | a) |
| − | | + | |
| − | <math> \frac{2}{(x+1)(x+3)} ; \frac{2}{x^2+4x+3} ; \frac{1}{0,5*(x+2)^2-0,5}</math>
| + | |
| | :{{Lösung versteckt|1= | | :{{Lösung versteckt|1= |
| − | | + | [[Bild:ABI2015_AII_TeilB_1a_Lös.jpg|700px]] |
| − | [[Bild:ABI2015_AI_TeilA_1a_Lös.jpg|700px]] | + | |
| | }} | | }} |
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| − | b) Begründen Sie, dass die x-Achse horizontale Asymptote von G<sub>f</sub> ist, und geben Sie die Gleichung der vertikalen Asymptoten von G<sub>f</sub> an. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes von G<sub>f</sub> mit der y-Achse. | + | b) |
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| − | Abbildung 1 zeigt den Graph der in IR definerten Funktion p:x > 0,5*(x+2)<sup>2</sup> -0,5, die die Nullstelle x=-3 und x=-1 hat.
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| − |
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| − | Für x ∈ D<sub>f</sub> gilt <math>f(x)=\frac{1}{p(x)}</math>.
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| − |
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| − | [[Bild:ABI2015_AI_TeilA_1b.jpg|center|350px]]
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| | :{{Lösung versteckt|1= | | :{{Lösung versteckt|1= |
| − | | + | [[Bild:ABI2015_AII_TeilB_1b_Lös.jpg|700px]] |
| − | [[Bild:ABI2015_AI_TeilA_1b_Lös.jpg|700px]] | + | |
| | }} | | }} |
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| − | c) Gemäß der Quotientenregel gilt für die Ableitung f' und p' die Beziehung <math> f'(x)=-\frac{p'(x)}{(p(x))^2}</math> für x ∈ D<sub>f</sub> | + | c) |
| − | | + | |
| − | Zeigen Sie unter Verwendung dieser Beziehung und ohne Berechnung von f'(x) und p'(x), dass x=-2 einzige Nullstelle von f' ist und dass G<sub>f</sub> in ]-3;-2[ streng monoton steigend sowie in ]-2;-1[ streng monoton fallend ist. Geben Sie Lage und Art des Extrempunktes von G<sub>f</sub> an.
| + | |
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| | :{{Lösung versteckt|1= | | :{{Lösung versteckt|1= |
| − | | + | [[Bild:ABI2015_AII_TeilB_1c_Lös.jpg|700px]] |
| − | [[Bild:ABI2015_AI_TeilA_1c_Lös.jpg|700px]] | + | |
| | }} | | }} |
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| − | d) Berechnen Sie f(-5) und f(-1,5) und skizzieren Sie G<sub>f</sub> unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1. | + | d) |
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| | :{{Lösung versteckt|1= | | :{{Lösung versteckt|1= |
| − | | + | [[Bild:ABI2015_AII_TeilB_1d_Lös.jpg|700px]] |
| − | [[Bild:ABI2015_AI_TeilA_1d_Lös.jpg|700px]] | + | |
| | }} | | }} |
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| | ;Aufgabe 2 | | ;Aufgabe 2 |
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| − | Gegeben ist die Funktion <math> h(x)= \frac{3}{e^{x+1} -1}</math> mit Definitionsbereich D<sub>h</sub> = ]-1;+∞[. Abbildung 2 zeigt den Graph G<sub>h</sub> von h.
| + | a) |
| − | [[Bild:ABI2015_AI_TeilA_2.jpg|center|350px]]
| + | |
| − | a)Begründen Sie... | + | |
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| | :{{Lösung versteckt|1= | | :{{Lösung versteckt|1= |
| | + | [[Bild:ABI2015_AII_TeilB_2a_Lös.jpg|700px]] |
| | + | }} |
| | | | |
| − | [[Bild:ABI2015_AI_TeilA_2a_Lös.jpg|700px]] | + | b) |
| | + | |
| | + | :{{Lösung versteckt|1= |
| | + | [[Bild:ABI2015_AII_TeilB_2b_Lös.jpg|700px]] |
| | }} | | }} |
| − |
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| | </td></tr></table></center> | | </td></tr></table></center> |
| | </div> | | </div> |
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| | :{{Lösung versteckt|1= | | :{{Lösung versteckt|1= |
| − | [[Bild:ABI2015_AI_TeilA_3a_Lös.jpg|700px]] | + | [[Bild:ABI2015_AII_TeilB_3a_Lös.jpg|700px]] |
| | }} | | }} |
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| | b) | | b) |
| | :{{Lösung versteckt|1= | | :{{Lösung versteckt|1= |
| − | [[Bild:ABI2015_AI_TeilA_3b_Lös.jpg|700px]] | + | [[Bild:ABI2015_AII_TeilB_3b_Lös.jpg|700px]] |
| | }} | | }} |
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| | c) | | c) |
| | :{{Lösung versteckt|1= | | :{{Lösung versteckt|1= |
| − | [[Bild:ABI2015_AI_TeilA_3c_Lös.jpg|700px]] | + | [[Bild:ABI2015_AII_TeilB_3c_Lös.jpg|700px]] |
| | }} | | }} |
| − | </td></tr></table></center>
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| − | </div>
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| | | | |
| − | <div style="padding:1px;background: #EEEEE6;border:0px groove;">
| + | d) |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | <center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15>
| + | |
| − | <tr><td width="800px" valign="top">
| + | |
| − | | + | |
| − | ;Aufgabe 4
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | a)
| + | |
| | :{{Lösung versteckt|1= | | :{{Lösung versteckt|1= |
| − | [[Bild:ABI2017_TeilA_4ab_Lös.jpg|700px]] | + | [[Bild:ABI2015_AII_TeilB_3d_Lös.jpg|700px]] |
| | }} | | }} |
| | | | |
| − | a)
| + | e) |
| | :{{Lösung versteckt|1= | | :{{Lösung versteckt|1= |
| − | [[Bild:ABI2017_TeilA_4ab_Lös.jpg|700px]] | + | [[Bild:ABI2015_AII_TeilB_3e_Lös.jpg|700px]] |
| | }} | | }} |
| | </td></tr></table></center> | | </td></tr></table></center> |
| | + | </div> |
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| − | | + | <div style="padding:1px;background: #EEEEE6;border:0px groove;"> |
| − | </div> | + | |
