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b) Welche dieser Geraden schneidet H unter dem größten Winkel?
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Berechnen Sie diesen maximalen Winkel auf eine Dezimale genau.
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Die Ebene E ist Tangentialebene an zwei Kugeln K<sub>1</sub> und K<sub>2</sub> mit dem Radius <math>5\sqrt{2}</math>, deren Mittelpunkte M<sub>1</sub> und M<sub>2</sub> auf der Gerade h liegen.
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Ferner sind die Punkte A ( 1 / 6 / 1) und B (-2 / 9 / 1) gegeben.
  
  
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a) Bestimmen Sie die Koordinaten von M<sub>1</sub> und M<sub>2</sub> . (Der Punkt mit ausschließlich ganzzahligen Koordinaten wird mit M<sub>1</sub> bezeichnet.)
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a) Weisen Sie nach, dass sich die Punkte A und B zu einem regulären Sechseck ABCDEF mit dem Mittelpunkt S (-2 / 6 / 4) ergänzen lassen.
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Ermitteln Sie die Koordinaten der Ergänzungspunkte C und D.
  
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[Teilergebnis: M<sub>1</sub> = (2/5/-6)]
 
  
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b) Die Kugelpunkte P <math>\in</math> K<sub>1</sub> und Q <math>\in</math> K<sub>2</sub> sind diejenigen Punkte, die minimale Distanz voneinander haben. Berechnen Sie die Entfernung [PQ] auf zwei Dezimalen gerundet.
 
  
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. [[Bild:2a,b klein.jpg]]
 
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der x<sub>2</sub> -Wert von M2 ist falsch (-5/3)
 
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Der Vektor M1M2 wurde in der anderen aufgestellt in der er berechnet wurde.
 
 
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b) Das Sechseck ABCDEF rotiert nun um die Achse AD.Beschreiben Sie das Aussehen des dabei entstehenden Rotationskörpers. Ermitteln Sie eine Gleichung der kleinsten Kugel, die den Rotationskörper enthält.
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Liegt der Ursprung des Koordinatensystems innerhalb oder außerhalb dieses Rotationskörpers? Begründen Sie Ihre Antwort.
  
  
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c) Spiegelt man die Ebene E am Punkt M<sub>1</sub>, so erhält man die Ebene E<sup>*</sup>. Geben Sie eine Gleichung von E<sup>*</sup> in Normalenform an.
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d) Zeigen Sie, dass die Punkte A (-1/0/-2) und C (-1/1/-1) auf der Kugel K<sub>1</sub> um M<sub>1</sub> liegen und bestimmen Sie die Koordinaten von B so, dass die Strecke [AB] ein Durchmesser von K<sub>1</sub> ist.
 
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[Teilergebnis: B (5/10/-10)]
 
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. [[Bild:2d.jpg]]
 
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e) Das Dreieck ABC ist die Grundfläche einer Pyramide ABCD, deren Spitze D ebenfalls auf der Kugel K<sub>1</sub> liegt. Alle Punkte D, für die die Pyramiden ABCD das Volumen 11 haben, bilden zwei Kreise auf der Kugelfläche (Nachweis nicht erforderlich).
 
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Berechnen Sie zuerst die Höhe h dieser Pyramiden und anschließend mit Hilfe einer geeigneten Skizze den Radius R der beiden oben definierten Kreise.
 
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[Zur Kontrolle: h = <math>\sqrt{11}</math>]
 
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. [[Bild:2e.jpg]]
 
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Version vom 13. April 2010, 13:21 Uhr

Bitte Link zu den Originalaufgaben ausbessern und Gesamtlösung hochladen


Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2003
Analytische Geometrie V


Download der Originalaufgaben: Abitur 2003 LK Mathematik Bayern - Lösung gesamt


Erarbeitet von Nellie Kirchner, Lea Mainberger, Maximilian Benkert



In einem kartesischen Koordinatensystem des \mathbb{R} 3 ist die Ebene H: x1 + x2 + x3 - 8 = 0 , sowie die Schar von Geraden ga : \vec x = \begin{pmatrix} a^2 \\ 0 \\ -a^2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot\begin{pmatrix} 3a \\ -3a \\ 8 \end{pmatrix}, \lambda ∈ \mathbb{R} , a ∈ \mathbb{R} gegeben.



Aufgabe 1

a) Zeigen Sie, dass keine der Geraden ga parallel und keine senkrecht zur Ebene H verläuft.

3 BE



b) Welche dieser Geraden schneidet H unter dem größten Winkel? Berechnen Sie diesen maximalen Winkel auf eine Dezimale genau.

6 BE



c) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts Sa von ga mit H.

[ Zur Kontrolle: Sa = (a2 + 3a / -3a / 8 - a2) ]

3 BE



d) Zeigen Sie, dass der Punkt S (-2 / 6 / 4) derjenige Punkt aus der Schar der Schnittpunkte Sa ist, der die geringste Entfernung vom Ursprung hat. Geben Sie diese Entfernung an.

9 BE


e) Die Punkte Sa bilden in H eine Kurve. Diese wird parallel zur x3-Achse in die x1x2-Ebene projiziert; die Projektion heißt P. Fertigen Sie eine Zeichnung von P in der x1x3-Ebene an. Um welchen Kurventyp handelt es sich bei P vermutlich? Überprüfen Sie Ihre Vermutung, indem Sie eine Koordinatengleichung von P aufstellen.

8 BE




Aufgabe 2

Ferner sind die Punkte A ( 1 / 6 / 1) und B (-2 / 9 / 1) gegeben.


a) Weisen Sie nach, dass sich die Punkte A und B zu einem regulären Sechseck ABCDEF mit dem Mittelpunkt S (-2 / 6 / 4) ergänzen lassen. Ermitteln Sie die Koordinaten der Ergänzungspunkte C und D.


5 BE


b) Das Sechseck ABCDEF rotiert nun um die Achse AD.Beschreiben Sie das Aussehen des dabei entstehenden Rotationskörpers. Ermitteln Sie eine Gleichung der kleinsten Kugel, die den Rotationskörper enthält. Liegt der Ursprung des Koordinatensystems innerhalb oder außerhalb dieses Rotationskörpers? Begründen Sie Ihre Antwort.


6 BE




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