2003 V: Unterschied zwischen den Versionen
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In einem kartesischen Koordinatensystem des <math>\mathbb{R} </math><sup>3</sup> ist die | In einem kartesischen Koordinatensystem des <math>\mathbb{R} </math><sup>3</sup> ist die | ||
− | Ebene H: x<sub>1</sub> + x<sub>2</sub> + x<sub>3</sub> - 8 = 0 , sowie die Schar von Geraden g<sub>a</sub> : <math>\vec x = \begin{pmatrix} a^2 \\ 0 \\ -a^2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot\begin{pmatrix} 3a \\ -3a \\ 8 \end{pmatrix}</math>, <math>\lambda</math> ∈ <math>\mathbb{R </math>, a ∈ <math>\mathbb{R </math> gegeben. | + | Ebene H: x<sub>1</sub> + x<sub>2</sub> + x<sub>3</sub> - 8 = 0 , sowie die Schar von Geraden g<sub>a</sub> : <math>\vec x = \begin{pmatrix} a^2 \\ 0 \\ -a^2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot\begin{pmatrix} 3a \\ -3a \\ 8 \end{pmatrix}</math>, <math>\lambda</math> ∈ <math>\mathbb{R} </math> , a ∈ <math>\mathbb{R} </math> gegeben. |
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Version vom 13. April 2010, 13:15 Uhr
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In einem kartesischen Koordinatensystem des 3 ist die Ebene H: x1 + x2 + x3 - 8 = 0 , sowie die Schar von Geraden ga : , ∈ , a ∈ gegeben.
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a) Zeigen Sie, dass keine der Geraden ga parallel und keine senkrecht zur Ebene H verläuft. 3 BE
b) Welche dieser Geraden schneidet H unter dem größten Winkel? Berechnen Sie diesen maximalen Winkel auf eine Dezimale genau. 6 BE
[ Zur Kontrolle: Sa = (a2 + 3a / -3a / 8 - a2) ] 3 BE
9 BE
e) Die Punkte Sa bilden in H eine Kurve. Diese wird parallel zur x3-Achse in die x1x2-Ebene projiziert; die Projektion heißt P. Fertigen Sie eine Zeichnung von P in der x1x3-Ebene an. Um welchen Kurventyp handelt es sich bei P vermutlich? Überprüfen Sie Ihre Vermutung, indem Sie eine Koordinatengleichung von P aufstellen. 8 BE
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Die Ebene E ist Tangentialebene an zwei Kugeln K1 und K2 mit dem Radius , deren Mittelpunkte M1 und M2 auf der Gerade h liegen.
[Teilergebnis: M1 = (2/5/-6)] 6 BE
b) Die Kugelpunkte P K1 und Q K2 sind diejenigen Punkte, die minimale Distanz voneinander haben. Berechnen Sie die Entfernung [PQ] auf zwei Dezimalen gerundet. 3 BE
der x2 -Wert von M2 ist falsch (-5/3) Der Vektor M1M2 wurde in der anderen aufgestellt in der er berechnet wurde.
4 BE
[Teilergebnis: B (5/10/-10)] 4 BE
[Zur Kontrolle: h = ] 6 BE
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