2005 VI: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 23. März 2010, 16:28 Uhr

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2005 Analytische Geometrie VI

Download der Originalaufgaben: Abitur 2005 LK Mathematik Bayern - Lösung gesamt

Erarbeitet von Tanja Kraus

In einem kartesischen Koordinatensystem ist die Geradenschar g_a : $\vec x = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot\begin{pmatrix} a \\ 1 \\ a+2 \end{pmatrix}$ mit a, $\lambda$ $\in$ $\mathbb{R}$ ^- gegeben. Die Punkte A(10/0/0), B(0/5/0) und C(0/0/5) bestimmen eine Ebene, die mit E bezeichnet wird.

Aufgabe 1

a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform. [mögliches Ergebnis E: x₁ + 2x₂ + 2x₃ - 10 = 0]

3 BE

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Bemerkung

Eine andere Möglichkeit wäre, mit Hilfe des Vektorprodukts den Normalenvektor der Ebene aufzustellen.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

b) Berechnen Sie den Schnittwinkel zwischen der Geraden g_-1 und der Ebene E.

3 BE

.

c) Zeigen Sie, dass die Gerade g_-2 in der Ebene E liegt und echt parallel zur Geraden AB ist.

4 BE

.

Bemerkung

Dass die beiden Richtungsvektoren linear abhängig sind, hat zur Folge, dass die die beiden Geraden echt parallel oder identisch sind. Man muss erst noch beweisen, dass sie nicht identisch sind, indem man beispielsweise überprüft, ob der Punkt A auf der Geraden g liegt. Das ist nicht der Fall. Daraus folgt, dass die beiden Geraden echt parallel sind.

Aufgabe 2

a) Der Punkt C wird an der Geraden AB gespiegelt. Ermitteln Sie die Koordinaten des Spiegelpunkts C^*.

[Ergebnis: C^* = (4/8/-5)]

5 BE

.

b) Weisen Sie nach, dass das Drachenviereck AC^*BC den Flächeninhalt 75 hat.

4 BE

.

c) Die Gerade g_-2 schneidet die Strecke [AC] im Punkt A^' (8/0/1)und zerlegt das Dreieck ABC in zwei Teile (Nachweis nicht erforderlich). Berechnen Sie das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teile.

6 BE

.

Aufgabe 3

In der Ebene H: x₃ = 3 liegen zwei parallele Schienen s₁ und s₂.Die Schiene s₁ wird durch die Gerade s₁ : $\vec x = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \tau\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ mit $\tau$ $\in$ $\mathbb{R}$ ^-

a) Berechnen Sie die Koordinaten des Punkts S, in dem die Kugel die Schiene s₁ berührt.

[Ergebnis: S = (20/27/3)]

6 BE

.

b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Schiene s₂.

5 BE

.

Bemerkung

Die Projektion von M in die x₃-Ebene heißt, dass die x₁- und x₂-Werte erhalten bleiben und der x₃-Wert in diesem Fall 3 ist.

c) Die Kugel wird nun angestoßen und rollt auf die Ebene E zu. Geben Sie eine Gleichung der Geraden m an, auf der sich dabei der Mittelpunkt der Kugel bewegt. Begründen Sie, weshalb der Punkt, in dem die Kugel schließlich die Ebene E berührt, nicht mit dem Schnittpunkt von m und E zusammenfällt.

4 BE

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+Die Projektion von M in die x<sub>3</sub>-Ebene heißt, dass die x<sub>1</sub>- und x<sub>2</sub>-Werte erhalten bleiben und der x<sub>3</sub>-Wert in diesem Fall 3 ist.
 c) Die Kugel wird nun angestoßen und rollt auf die Ebene E zu. Geben Sie eine Gleichung der Geraden m an, auf der sich dabei der Mittelpunkt der Kugel bewegt.
 Begründen Sie, weshalb der Punkt, in dem die Kugel schließlich die Ebene E berührt, nicht mit dem Schnittpunkt von m und E zusammenfällt.

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