2006 V: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 10. März 2010, 09:17 Uhr

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Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2006 Analytische Geometrie V

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Erarbeitet von Johannes Brunnquell, Lea Mainberger, Maximilian Benkert

In einem kartesischen Koordinatensystem des $\mathbb{R}$ ³ ist die Ebene E: x₂ - x₃ - 1 = 0 , die Geradenschar g_k : $\vec x = \begin{pmatrix} -k^2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ und die Gerade h : $\vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu \cdot\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ gegeben, wobei k, $\lambda$ und $\mu$ aus $\mathbb{R}$ sind.

Aufgabe 1

a) Zeigen Sie: Alle Geraden der Schar g_k sind zueinander parallel und liegen in der Ebene E.

3 BE

.

b) Begründen Sie, dass die Schar der Geraden g_k eine Halbebene von E bildet.

4 BE

.

c) Für welche Werte von k schneidet g_k die Gerade h? Ermitteln Sie die Koordinaten des Schnittpunkts S.

[ Teilergebnis: S = (2/ $\frac{5}{3}$ / $\frac{2}{3}$ ) ]

5 BE

.

d) Projiziert man h senkrecht auf E, so erhält man die Gerade h_E. Berechnen Sie den Winkel $\varphi$ zwischen h_E und h in Grad auf eine Nachkommastelle gerundet.

5 BE

.

Aufgabe 2

Die Ebene E ist Tangentialebene an zwei Kugeln K₁ und K₂ mit dem Radius $5\sqrt{2}$ , deren Mittelpunkte M₁ und M₂ auf der Gerade h liegen.

a) Bestimmen Sie die Koordinaten von M₁ und M₂ . (Der Punkt mit ausschließlich ganzzahligen Koordinaten wird mit M₁ bezeichnet.)

[Teilergebnis: M₁ = (2/5/-6)]

6 BE

b) Die Kugelpunkte P $\in$ K₁ und Q $\in$ K₂ sind diejenigen Punkte, die minimale Distanz voneinander haben. Berechnen Sie die Entfernung [PQ] auf zwei Dezimalen gerundet.

3 BE

.

der x₂ -Wert von M2 ist falsch (-5/3)
Der Vektor M1M2 wurde in der anderen aufgestellt in der er berechnet wurde.

c) Spiegelt man die Ebene E am Punkt M₁, so erhält man die Ebene E^*. Geben Sie eine Gleichung von E^* in Normalenform an.

4 BE

.

d) Zeigen Sie, dass die Punkte A (-1/0/-2) und C (-1/1/-1) auf der Kugel K₁ um M₁ liegen und bestimmen Sie die Koordinaten von B so, dass die Strecke [AB] ein Durchmesser von K₁ ist.

[Teilergebnis: B (5/10/-10)]

4 BE

.

e) Das Dreieck ABC ist die Grundfläche einer Pyramide ABCD, deren Spitze D ebenfalls auf der Kugel K₁ liegt. Alle Punkte D, für die die Pyramiden ABCD das Volumen 11 haben, bilden zwei Kreise auf der Kugelfläche (Nachweis nicht erforderlich). Berechnen Sie zuerst die Höhe h dieser Pyramiden und anschließend mit Hilfe einer geeigneten Skizze den Radius R der beiden oben definierten Kreise.

[Zur Kontrolle: h = $\sqrt{11}$ ]

6 BE

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+ der x<sub>2</sub> -Wert von M2 ist falsch (-5/3)
+ Der Vektor M1M2 wurde in der anderen aufgestellt in der er berechnet wurde.
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