2007 V: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 18. Februar 2010, 00:03 Uhr

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2007 Analytische Geometrie V

Lösung von Ruth Burkard, Julian Weinbeer und Veronika Weinbeer

Aufgabe 1

Gegeben ist in einem kartesischen Koordinatensystem des IR³ die Ebenenschar E_k : k²x₁ + k ²x₂ - k² = 0 , mit k ∈ IR als Scharparameter.

a) Ermitteln Sie, für welche Werte von k die Ebene E_k den Punkt P(1|2|-3)und zugleich den Punkt Q(0|1|0) enthält.

4 BE

b) Die beiden Ebenen E₂ und E_-3 schneiden sich in einer Geraden g. Ermitteln Sie eine Gleichung von g in Parameterform und den Schnittwinkel der beiden Ebenen auf eine Dezimale gerundet.

[mögliches Teilergebnis: g: $\vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}$ , λ ∈ IR ]

Bestimmung der Gleichung in Parameterform

1. Lösungsweg:

2. Lösungsweg:

Berechnung des Schnittwinkels

5 BE

c) Mit e(k) werde der Betrag des Abstands der Ebene E_k vom Koordinatenursprung bezeichnet. Zeigen Sie, dass e(k)= $\frac{k^2}{\sqrt{k^2+k^4+2}}$ und dass e(k)<1 ist.

4 BE

d) Es gibt zwei Scharebenen, deren Schnittwinkel mit der x₃-Achse 30° besteht. Ermitteln Sie die zugehörigen Werte von k.

5 BE

e) Untersuchen Sie, ob die Gerade g aus Teilaufgabe 1b senkrecht auf einer Ebene der Schar E_k steht.

3 BE

Aufgabe 2:

Nun ist weiter die Kugel K mit dem Mittelpunkt M(1|2|3) und dem Radius r= 6 gegeben. Die Scharebene E_-1 schneidet die Kugel K in einem Kreis k_s mit dem Mittelpunkt N und dem Radius r_s.

a) Berechnen Sie die Koordinaten N und den Radius r_s

[Ergebnis: N(2|1|1); r_s = ${\sqrt{30}}$ ]

6 BE

b) Zeigen Sie, dass der Punkt R(3|6|-1) auf dem Schnittkreis k_s liegt, und stellen Sie eine Gleichung der Tangentialebene T

auf, die die Kugel K im Punkt R berührt.

[mögliches Teilergebnis: T:x₁+2x₂-2x₃-17=0]

4 BE

c) Die Ebene E_-1 und die Tangentialebene an die Kugel K in allen Punkten des Schnittkreises k_s begrenzen einen geraden

Kreiskegel. Berechnen Sie das Volumen dieses Kegels.

5 BE

d) Zeigen Sie, dass der Punkt U(3|-2|-1) auf der Kugel K und innerhalb des Kreiskegels liegt.

4 BE

@@ Zeile 83: / Zeile 83: @@
 }}
 <div align="right"><i>'''3 BE'''</i></div>
 '''Aufgabe 2:'''
@@ Zeile 95: / Zeile 96: @@
 <div align="right"><i>'''6 BE'''</i></div>
-'''b)''' Zeigen Sie, dass der Punkt R(3|6|-1) auf dem Schnittkreis k<sub>s</sub> liegt, und stellen Sie eine Gleichung der  Tangentialebene T auf, die die Kugel K im Punkt R berührt.
+'''b)''' Zeigen Sie, dass der Punkt R(3|6|-1) auf dem Schnittkreis k<sub>s</sub> liegt, und stellen Sie eine Gleichung der  Tangentialebene T <br />
+:auf, die die Kugel K im Punkt R berührt.
 :[mögliches Teilergebnis: T:x<sub>1</sub>+2x<sub>2</sub>-2x<sub>3</sub>-17=0]
 :{{Lösung versteckt|1=
@@ Zeile 102: / Zeile 104: @@
 <div align="right"><i>'''4 BE'''</i></div>
-'''c)''' Die Ebene E<sub>-1</sub> und die Tangentialebene an die Kugel K in allen Punkten des Schnittkreises k<sub>s</sub> begrenzen einen geraden Kreiskegel. Berechnen Sie das Volumen dieses Kegels.
+'''c)''' Die Ebene E<sub>-1</sub> und die Tangentialebene an die Kugel K in allen Punkten des Schnittkreises k<sub>s</sub> begrenzen einen geraden
+:Kreiskegel. Berechnen Sie das Volumen dieses Kegels.
 :{{Lösung versteckt|1=
 [[Bild:Aufgabe_2_c.jpg|750px]]
 }}
-</div>
 <div align="right"><i>'''5 BE'''</i></div>
@@ Zeile 115: / Zeile 117: @@
 <div align="right"><i>'''4 BE'''</i></div>
+</div>
 </td></tr></table></center>

2007 V: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 18. Februar 2010, 00:03 Uhr

Navigationsmenü

Meine Werkzeuge

Namensräume

Varianten

Ansichten

Aktionen

Suche

Navigation

Hilfen

Oberstufe

Studien- und Berufsorientierung am RMG

Werkzeuge