2008 V: Unterschied zwischen den Versionen

Aufgabe 1

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des ³ die Punkte A(1|2|3), B(5|0|-1) und D(-1|6|-1) sowie S_t (1-t|8|t) mit \ {9} als Parameter.

a) Zeigen Sie, dass die Punkte A, B und D eine Ebene E bestimmen, und ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform. (5 BE)

Zur Kontrolle: E: 2x₁+2x₂+x₃-9=0

b) Weisen Sie nach, dass sich die Punkte A, B und D durch einen vierten Punkt C zu einem Quadrat ABCD ergänzen lassen, und berechnen Sie den Diagonalenschnittpunkt M dieses Quadrats. (4 BE)

Teilergebnis: M(2|3|-1)

c) Für welchen Wert von t ist die Entfernung von S_t zu M minimal? (5 BE)

Aufgabe 2

2) Das Quadrat ABCD als Begrenzungsfläche und die Strecke [DS_t] als Seitenkante bestimmen ein Parallelflach.

a) Berechnen Sie alle Werte von t, für die das Parallelflach den Rauminhalt V=144 hat. (6 BE)

b) Bestimmen Sie t so, dass das Parallelflach ein Quader ist. (3 BE)

Nun sei t=1. Die durch die Punkte A, D und S₁ festgelegte Seitenfläche des Parallelflachs liegt in der Ebene F:2x₁-x₃+1=0.

c) Im Punkt T(1|5|3) dieser Seitenfläche wird ein Lot errichtet. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes U, in dem das Lot die Ebene E schneidet, und zeigen Sie, dass U nicht im Innern des Quadrats ABCD liegt.(7 BE)

d) Ermitteln Sie den Schnittwinkel der Ebenen E und F. (3 BE)

Aufgabe 3

K sei die Kugel, die den Punkt M aus Teilaufgabe 1b als Mittelpunkt und den Radius r=3 hat. Sie wird durch eine zentrische Streckung mit A als Zentrum und dem Streckungsfaktor -2 auf die Kugel K' abgebildet. Ermitteln Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M' und K', sowie den maximalen Abstand, den zwei Punkte P und P' haben können, wenn P auf K und P' auf K' liegt. (7 BE)