2009 II: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 3. Februar 2010, 20:34 Uhr

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2009 Infinitesimalrechnung II

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Aufgabe 1

Gegeben ist die Schar der Funktionen $f_a : x \mapsto a^3 x^2 e^{-ax}$ mit a ∈ IR⁺ und der Definitionsmenge IR . Der Graph von f_a wird mit G_a bezeichnet. Die Abbildung zeigt G_a für a = 0,04.

a) Untersuchen Sie am Funktionsterm das Verhalten von f_a für x → −∞ und x → +∞. Begründen Sie, dass G_a nie unterhalb der x-Achse verläuft.

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b) Bestimmen Sie Art und Lage der Extrempunkte von G_a. [Zur Kontrolle: Tiefpunkt bei x = 0 und Hochpunkt bei x = $\textstyle \frac{2}{a}$ ]

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Aufgabe 2

Nun werden die in IR definierten Integralfunktionen $F_a : x \mapsto \int\limits_{0}^{x} f_a(t)dt$ betrachtet.

a) Begründen Sie ohne Ausführung der Integration, dass der Graph von F_a für alle a ∈ IR⁺ durch den Koordinatenursprung verläuft und dort einen Terrassenpunkt besitzt.

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b) Berechnen Sie durch partielle Integration einen integralfreien Term für F_a . Geben Sie den Grenzwert von F_a für x → +∞ an und interpretieren Sie das Ergebnis am Graphen G_a. [Teilergebnis: F_a = 2 - e^-ax · (a²x² + 2ax + 2)]

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c) Nun sei a = 0,04 . Der Graph der Funktion F_0,04 besitzt für x > 0 einen Wendepunkt W. Bestimmen Sie die Koordinaten von W. Skizzieren Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse den Graphen von F_0,04 im Bereich − 30 ≤ x ≤ 200 in ein Koordinatensystem (x-Achse: 50 LE ≙ 2,5 cm, y-Achse: 1 LE ≙ 2,5 cm). Verwenden Sie dazu ohne Nachweis: F_0,04(−30) ≈ −1,45 und F_0,04(200) ≈1,97 .

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Aufgabe 3

Die Gruppe „Die toten Rosen“ gibt ein Konzert. Es beginnt um 20 Uhr, der Einlass wird ab 18 Uhr gewährt. Der Besucherzustrom soll durch eine Funktion g der Form g(x) = k ⋅ f_a (x) mit geeignetem a und geeignetem k > 0 modelliert werden. Dabei bedeutet x die seit 18 Uhr vergangene Zeit in Minuten. g(x) gibt die momentane Zunahme der Besucherzahl in Besucher pro Minute an.

a) Bestimmen Sie die Parameter a und k, wenn das Maximum der Funktion g um 18.50 Uhr auftritt und 26 Besucher pro Minute beträgt.

b) Berechnen Sie für a = 0,04 und k = 1200 unter Verwendung des in Teilaufgabe 2b ermittelten Terms F_a (x) das Integral $\int\limits_{0}^{120} g(x)dx$ und interpretieren Sie das Ergebnis im Anwendungszusammenhang.

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 Gegeben ist die Schar der Funktionen <math>f_a : x \mapsto a^3 x^2 e^{-ax}</math>  mit a ∈ IR<sup>+</sup> und der Definitionsmenge IR . Der Graph von f<sub>a</sub> wird mit G<sub>a</sub> bezeichnet. Die Abbildung zeigt G<sub>a</sub> für a = 0,04.
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 ;Aufgabe 2
-Nun werden die in R I definierten Integralfunktionen betrachtet.
+Nun werden die in IR definierten Integralfunktionen <math>F_a : x \mapsto \int\limits_{0}^{x} f_a(t)dt</math>  betrachtet.
 a) Begründen Sie ohne Ausführung der Integration, dass der Graph von F<sub>a</sub> für alle a ∈ IR<sup>+</sup> durch den Koordinatenursprung verläuft und dort einen Terrassenpunkt besitzt.
+:{{Lösung versteckt|1=
+[[Bild:ABI_2009_II_A2a_Lös.jpg|800px]]
-b) Berechnen Sie durch partielle Integration einen integralfreien Term für F<sub>a</sub> . Geben Sie den Grenzwert von Fa für x → +∞ an und interpretieren Sie das Ergebnis am Graphen G<sub>a</sub>. [Teilergebnis: ]
+}}
+b) Berechnen Sie durch partielle Integration einen integralfreien Term für F<sub>a</sub> . Geben Sie den Grenzwert von F<sub>a</sub> für x → +∞ an und interpretieren Sie das Ergebnis am Graphen G<sub>a</sub>. [Teilergebnis: F<sub>a</sub> = 2 - e<sup>-ax</sup> · (a<sup>2</sup>x<sup>2</sup> + 2ax + 2)]
-c) Nun sei a = 0,04 . Der Graph der Funktion F0,04 besitzt für x > 0 einen Wendepunkt W. Bestimmen Sie die Koordinaten von W. Skizzieren Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse den
+:{{Lösung versteckt|1=
-Graphen von F<sub>0,04</sub> im Bereich − 30 ≤ x ≤ 200 in ein Koordinatensystem
-(x-Achse: 50 LE ≙ 2,5 cm, y-Achse: 1 LE ≙ 2,5 cm). Verwenden Sie
-dazu ohne Nachweis: F0,04 (−30) ≈ −1,45 und F0,04 (200) ≈1,97 .
-(FortsetzungNun wird die Schar der Funktionen <math>f_k : x \mapsto \frac{x}{k + x^2}</math>  mit k ∈ IR<sup>-</sup><sub>0</sub> betrachtet. Geben Sie die maximale Definitionsmenge D<sub>k</sub> von f<sub>k</sub> in
-Abhängigkeit von k an.
-Zeigen Sie, dass an den Definitionslücken Polstellen vorliegen. Hat f<sub>k</sub> an den Polstellen einen Vorzeichenwechsel? Begründen Sie Ihre Antwort.
+[[Bild:ABI_2009_II_A2b_Lös.jpg|800px]]
+}}
+c) Nun sei a = 0,04 . Der Graph der Funktion F<sub>0,04</sub> besitzt für x > 0 einen Wendepunkt W. Bestimmen Sie die Koordinaten von W. Skizzieren Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse den Graphen von F<sub>0,04</sub> im Bereich − 30 ≤ x ≤ 200 in ein Koordinatensystem (x-Achse: 50 LE ≙ 2,5 cm, y-Achse: 1 LE ≙ 2,5 cm). Verwenden Sie dazu ohne Nachweis: F<sub>0,04</sub>(−30) ≈ −1,45 und F<sub>0,04</sub>(200) ≈1,97 .
 :{{Lösung versteckt|1=
-[[Bild:ABI_2008_I_A2_Lös.jpg|800px]]
+[[Bild:ABI_2009_II_A2c_Lös.jpg|800px]]
 }}
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 ;Aufgabe 3
-Die Gruppe „Die toten Rosen“ gibt ein Konzert. Es beginnt um 20 Uhr, der
+Die Gruppe „Die toten Rosen“ gibt ein Konzert. Es beginnt um 20 Uhr, der Einlass wird ab 18 Uhr gewährt. Der Besucherzustrom soll durch eine Funktion g der Form g(x) = k ⋅ f<sub>a</sub> (x) mit geeignetem a und geeignetem k > 0 modelliert werden. Dabei bedeutet x die seit 18 Uhr vergangene Zeit
-Einlass wird ab 18 Uhr gewährt. Der Besucherzustrom soll durch eine
+in Minuten. g(x) gibt die momentane Zunahme der Besucherzahl in Besucher pro Minute an.
-Funktion g der Form g(x) = k ⋅ fa (x) mit geeignetem a und geeignetem
-k > 0 modelliert werden. Dabei bedeutet x die seit 18 Uhr vergangene Zeit
-in Minuten. g(x) gibt die momentane Zunahme der Besucherzahl in
-Besucher pro Minute an.
-a) Bestimmen Sie die Parameter a und k, wenn das Maximum der
-Funktion g um 18.50 Uhr auftritt und 26 Besucher pro Minute beträgt.
-b) Berechnen Sie für a = 0,04 und k =1200 unter Verwendung des in
-Teilaufgabe 2b ermittelten Terms Fa (x) das Integral ∫
-g(x)dx und
-interpretieren Sie das Ergebnis im Anwendungszusammenhang.
-a) Die drei folgenden Abbildungen zeigen Halbkreise mit Radius r und Mittelpunkten (0|0), (0|r) und (r|0) . Begründen Sie, dass der Halbkreis in Bild 1 Graph der Funktion <math>f_1 : x \mapsto \sqrt{r^2-x^2}</math>  mit − r ≤ x ≤ r ist.
-Die Halbkreise der Bilder 2 und 3 sind Graphen der Funktionen f<sub>2</sub> und f<sub>3</sub> . Geben Sie jeweils Term und Definitionsmenge für f<sub>2</sub> und f<sub>3</sub> an.
+a) Bestimmen Sie die Parameter a und k, wenn das Maximum der Funktion g um 18.50 Uhr auftritt und 26 Besucher pro Minute beträgt.
-:{{Lösung versteckt|1=
-[[Bild:ABI_2008_I_A3_1_Lös.jpg|600px]]
-[[Bild:ABI_2008_I_A3_1.2_Lös.jpg|600px]]
-}}
-b) Ein kugelförmiger Tank hat den Innenradius r und ist mit einer Flüssigkeit gefüllt. Die Höhe der
+b) Berechnen Sie für a = 0,04 und k = 1200 unter Verwendung des in Teilaufgabe 2b ermittelten Terms F<sub>a</sub> (x) das Integral <math> \int\limits_{0}^{120} g(x)dx</math> und interpretieren Sie das Ergebnis im Anwendungszusammenhang.
-eingefüllten Flüssigkeit ist h. Zeigen Sie mit Hilfe der Integralrechnung, dass für das Volumen V der
-eingefüllten Flüssigkeit gilt: <math>V = \pi(r h^2 - \frac{1}{3}h^3)</math>
 :{{Lösung versteckt|1=
-[[Bild:ABI_2008_I_A3_2_Lös.jpg|600px]]
+[[Bild:ABI_2008_I_A3_Lös.jpg|800px]]
 }}

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