2009 II: Unterschied zwischen den Versionen

Aufgabe 1

Gegeben ist die Schar der Funktionen mit a ∈ IR⁺ und der Definitionsmenge IR . Der Graph von f_a wird mit G_a bezeichnet. Die Abbildung zeigt G_a für a = 0,04.

a) Untersuchen Sie am Funktionsterm das Verhalten von f_a für x → −∞ und x → +∞. Begründen Sie, dass G_a nie unterhalb der x-Achse verläuft.

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b) Bestimmen Sie Art und Lage der Extrempunkte von G_a. [Zur Kontrolle: Tiefpunkt bei x = 0 und Hochpunkt bei x = ]

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Aufgabe 2

Nun werden die in R I definierten Integralfunktionen betrachtet.

a) Begründen Sie ohne Ausführung der Integration, dass der Graph von F_a für alle a ∈ IR⁺ durch den Koordinatenursprung verläuft und dort einen Terrassenpunkt besitzt.

b) Berechnen Sie durch partielle Integration einen integralfreien Term für F_a . Geben Sie den Grenzwert von Fa für x → +∞ an und interpretieren Sie das Ergebnis am Graphen G_a. [Teilergebnis: ]

c) Nun sei a = 0,04 . Der Graph der Funktion F0,04 besitzt für x > 0 einen Wendepunkt W. Bestimmen Sie die Koordinaten von W. Skizzieren Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse den Graphen von F_0,04 im Bereich − 30 ≤ x ≤ 200 in ein Koordinatensystem (x-Achse: 50 LE ≙ 2,5 cm, y-Achse: 1 LE ≙ 2,5 cm). Verwenden Sie dazu ohne Nachweis: F0,04 (−30) ≈ −1,45 und F0,04 (200) ≈1,97 . (FortsetzungNun wird die Schar der Funktionen mit k ∈ IR^-₀ betrachtet. Geben Sie die maximale Definitionsmenge D_k von f_k in Abhängigkeit von k an.

Zeigen Sie, dass an den Definitionslücken Polstellen vorliegen. Hat f_k an den Polstellen einen Vorzeichenwechsel? Begründen Sie Ihre Antwort.

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Aufgabe 3

Die Gruppe „Die toten Rosen“ gibt ein Konzert. Es beginnt um 20 Uhr, der Einlass wird ab 18 Uhr gewährt. Der Besucherzustrom soll durch eine Funktion g der Form g(x) = k ⋅ fa (x) mit geeignetem a und geeignetem k > 0 modelliert werden. Dabei bedeutet x die seit 18 Uhr vergangene Zeit in Minuten. g(x) gibt die momentane Zunahme der Besucherzahl in Besucher pro Minute an. 5 a) Bestimmen Sie die Parameter a und k, wenn das Maximum der Funktion g um 18.50 Uhr auftritt und 26 Besucher pro Minute beträgt. 5 b) Berechnen Sie für a = 0,04 und k =1200 unter Verwendung des in Teilaufgabe 2b ermittelten Terms Fa (x) das Integral ∫ 120 0 g(x)dx und interpretieren Sie das Ergebnis im Anwendungszusammenhang.

a) Die drei folgenden Abbildungen zeigen Halbkreise mit Radius r und Mittelpunkten (0|0), (0|r) und (r|0) . Begründen Sie, dass der Halbkreis in Bild 1 Graph der Funktion mit − r ≤ x ≤ r ist.

Die Halbkreise der Bilder 2 und 3 sind Graphen der Funktionen f₂ und f₃ . Geben Sie jeweils Term und Definitionsmenge für f₂ und f₃ an.

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b) Ein kugelförmiger Tank hat den Innenradius r und ist mit einer Flüssigkeit gefüllt. Die Höhe der eingefüllten Flüssigkeit ist h. Zeigen Sie mit Hilfe der Integralrechnung, dass für das Volumen V der eingefüllten Flüssigkeit gilt:

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