Wendepunkt: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 23. Januar 2010, 21:12 Uhr

Bestimmung der größten Senkung der Durchflussgeschwindigkeit

Es soll, in Abhängigkeit von a bestimmt werden, wann die Druchflussgeschwindigkeit besonders stark absinkt. Dieser Wert soll zum Zeitpunkt t berechnet werden.

Hier ist der Punkt gesucht, an dem die Durchflussgeschwindigkeit am stärksten absinkt.

Dazu schaut man sich die erste Ableitung näher an, da diese die Steigung eines Graphen G_f zeigt.
Da es sich bei der ersten Ableitung um eine nach oben geöffnete Parabel handelt, ist das Minimum des Graphen gleichzeitig der Punkt, an dem die Steigung besonders stark abfällt.
Es ist also das Minimum der ersten Ableitung gesucht.

$\Rightarrow f ''(t) = 0$

An dem erhaltenem Punkt besitzt der Graph G_f den größten negativen Steigungswert. Dieser Punkt ist ein möglicher Wendepunkt. An ihm ändert der Graph sein Krümmungsverhalten.

Errechne die Koordinaten des möglichen Wendepunktes und überprüfe, ob es einer ist.

Merke: Es handelt sich nur um einen Wendepunkt, wenn folgende Kriterien erfüllt sind.

$\Rightarrow f''(t_0) = 0$

$\Rightarrow f'''(t_0) \neq 0$

$\Rightarrow f ''(t)= 0 \rightarrow \frac{3}{2} t - 2a = 0 \Rightarrow t = \frac{4}{3}a$

$f ( \frac{4}{3}a ) = \frac{4}{27}a^3 \Rightarrow WP \left( \frac{4}{3}a / \frac{4}{27}a^3 \right)$

Bei dem Punkt handelt es sich um einen Wendepunkt, da die dritte Ableitung $f'''(t) = \frac{3}{2} \Rightarrow f'''( \frac{4}{3}a ) = \frac{3}{2}$ ungleich Null ist.

Der Punkt, an welchem die Funktion besonders stark abfällt ist zugleich der Wendepunkt $WP \left( \frac{4}{3}a / \frac{4}{27}a^3 \right)$

Die blaue Funktion zeigt die Ableitung f '(t) der schwarzen Funktion f (t) für a = 3.

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-===Aufgabe: Wendepunkt===
+===Bestimmung der größten Senkung der Durchflussgeschwindigkeit===
 '''''<span style="color: darkorange">Es soll, in Abhängigkeit von a bestimmt werden, wann die Druchflussgeschwindigkeit besonders stark absinkt. Dieser Wert soll zum Zeitpunkt t berechnet werden.</span>
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-:''An dem erhaltenem Punkt besitzt der Graph G<sub>f</sub> den größten negativen Steigungswert. Dieser Punkt heißt Wendepunkt. An ihm ändert der Graph sein Krümmungsverhalten.''
+:''An dem erhaltenem Punkt besitzt der Graph G<sub>f</sub> den größten negativen Steigungswert. Dieser Punkt ist ein möglicher Wendepunkt. An ihm ändert der Graph sein Krümmungsverhalten.''
+::<span style="color: darkblue">Errechne die Koordinaten des möglichen Wendepunktes und überprüfe, ob es einer ist.</span>
+::'''<u><span style="color: red">Merke:</span></u>''' Es handelt sich nur um einen Wendepunkt, wenn folgende Kriterien erfüllt sind.
+::<math>\Rightarrow f''(t_0) = 0</math>
+::<math>\Rightarrow f'''(t_0) \neq 0</math>
-::<span style="color: darkblue">Errechne die Koordinaten des Wendepunktes.</span>
 ::{{Lösung versteckt|1=
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-::<u>Der Punkt, an welchem die Funktion besonders stark abfällt ist zugleich der Wendepunkt</u> <math>WP \left( \frac{4}{3}a / \frac{4}{27}a^3 \right)</math>
+::Bei dem Punkt handelt es sich um einen Wendepunkt, da die dritte Ableitung <math>f'''(t) = \frac{3}{2} \Rightarrow f'''( \frac{4}{3}a ) = \frac{3}{2}</math> ungleich Null ist.
-::'''<u><span style="color: red">Merke:</span></u>''' Es handelt sich nur um einen Wendepunkt, wenn folgende Kriterien erfüllt sind.
-::<math>\Rightarrow f''(t_0) = 0</math>
+::<u>Der Punkt, an welchem die Funktion besonders stark abfällt ist zugleich der Wendepunkt</u> <math>WP \left( \frac{4}{3}a / \frac{4}{27}a^3 \right)</math>
-::<math>\Rightarrow f'''(t_0) \neq 0</math>
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