Lösung: lokale Extrempunkte: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 23. Januar 2010, 00:46 Uhr

y = f_a (x) = ( x - a )\cdot e^{a+2-x} mit x\in R ; a\in R


Inhaltsverzeichnis

lokale Extrempunkte

Damit man Extrempunkte einer Funktion finden kann, braucht man ihre erste Ableitung

y = f_a (x) = ( x - a )\cdot e^{a+2-x}

Um die erste Ableitung zu bekommen, muss man hier die Produktregel verwenden [Hilfe zur Produktregel]

f_a^{'}(x) = ( x - a )\cdot e^{a+2-x}\cdot( -1 ) + 1\cdot e^{a+2-x}
= e^{a+2-x}\cdot (( x - a )\cdot (-1) + 1 )
= e^{a+2-x}\cdot ( -x + a + 1 )
= e^{a+2-x}\cdot ( 1 + a - x )


Der/Die Extrempunkt/e können an der Stelle liegen, an der die erste Ableitung der Funktion gliech Null ist. Die erste Ableitung einer Funktion zeigt das Steigungsverhalten dieser an. Wenn dieses gleich Null ist, besitzt die Funktion eine waagrechte Tangent an dieser Stelle. Dass heißt es könnte ein Extrempunkt(Maximum^Hochpunkt und/oder Minimum ^ Tiefpunkt)auftreten.Dies muss jedoch erst mit der zweiten Ableitung oder mit dem Monotonieverhalten der Funktion überprüft werden, da auch ein Terassenpunktauftreten könnte.


f_a^{'}(x) = 0 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; |e^{a+2-x} > 0
( 1 + a - x ) = 0 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; |- 1 ; - a
-x = -1 + a \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|\cdot (-1)
x = 1 + a \;


y = f_a ( 1 + a ) = ( 1 + a - a )\cdot e^{a + 2 - ( 1 + a )}
= 1\cdot e^{a + 2 - 1 - a }
= 1\cdot e^{1}
= e \;


\rightarrow Möglicher Extrempunkt: ( 1 + a / e )\;


Überprüfung des Extrempunkts

1. Möglichkeit

H-Methode
Vorzeichenwechsel (VZW) des Monotonieverhaltens der Funktion

\lim_{h\to 0}f_a^{'}( 1 + a + h ) = \lim_{h\to 0}( 1 + a -( 1 + a + h )\cdot e^{a + 2 - ( 1 + a + h)}

=\lim_{h\to 0} ( 1 + a - 1 - a - h )\cdot e^{a + 2 - 1 - a - h}
= \lim_{h\to 0}e^{1 - h}\cdot ( -h )
= \lim_{h\to 0}-h\cdot e^{1 - h}


\lim_{h\to 0} f_a^{'} ( 1 + a + h ) < 0
\rightarrow An der Stelle f_a^{'}( 1 + a + h )\; fällt der Graph (I)


\lim_{h\to 0}f_a^{'} ( 1 + a - h ) = \lim_{h\to 0}( 1 + a -( 1 + a - h ) e^{a + 2 - ( 1 + a - h)}

= \lim_{h\to 0}( 1 + a - 1 - a + h )\cdot e^{a + 2 - 1 - a + h)}
= \lim_{h\to 0} e^{1+ h}\cdot ( +h )
= \lim_{h\to 0}+h\cdot e^{1+ h}


\lim_{h\to 0} f_a^{'} ( 1 + a - h ) > 0
\rightarrow An der Stelle f_a^{'}( 1 + a - h )\; steigt der Graph (II)


Aus (I) und (II) folgt:
VZW bei x = 1 + a\;
\Rightarrow Extrempunkt bei ( 1 + a / e )\;


zur Verdeutlichung

Monotonieverhalten
x<1+a x=1+a x>1+a
ea + 2 - x + +
( 1 + a - x ) + -
fa' ( x ) + -
\;\;\;\nearrow \;\;\;\;\;\;\;\;\; \searrow


\rightarrow Maximum \;( 1 + a / e )\;

2. Möglichkeit

Überprüfung durch die zweite Ableitung [Hilfe zur Produktregel]


y = f_a (x) = ( x - a )\cdot e^{a + 2 - x}


f_a^{'}(x) = e^{a + 2 - x}\cdot ( 1 + a - x )


f_a^{''}(x) = e^{a + 2 - x}\cdot ( 1 + a - x )\cdot ( -1 ) + ( -1 )\cdot e^{a + 2 - x}
= -e^{a + 2 - x}\cdot ( 1 + a - x + 1 )
= e^{a + 2 - x}\cdot ( x - a - 2 )

Wenn die zweite Ableitung an dem möglichen Extrempunkt größer als Null ist hat man ein Minimum, wenn sie kleiner Null ist ein Maximum, bei gleich Null könnte ein Terrassenpunkt auftreten.

f_a^{''} ( 1 + a ) = e^{a + 2 - ( 1 + a )}\cdot ( ( 1 + a ) - a - 2 )
= e^{a + 2 - 1 - a }\cdot ( -1 )
= e^{1}\cdot ( -1 )
< 0\;

\rightarrow Max ( 1 + a / e )

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