LK Mathematik Abitur NRW 2007: Unterschied zwischen den Versionen
(→Aufgabe: Theoretische Überlegungen zur Funktion) |
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'''''<span style="color: darkorange">Ermittle für a = 3, wie viel Liter Wasser in den ersten sechs Monaten durch den Fluss fließen.</span> | '''''<span style="color: darkorange">Ermittle für a = 3, wie viel Liter Wasser in den ersten sechs Monaten durch den Fluss fließen.</span> | ||
− | :Um Auszurechnen, wieviel Kubikliter Wasser durch den Fluss fließen, errechnet man | + | {| |
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+ | :''Um Auszurechnen, wieviel Kubikliter Wasser durch den Fluss fließen, errechnet man die Fläche unter der Funktion''. | ||
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+ | :Einfache, bereits bekannte Flächenberechnungen gibt es bei linearen Funktionen. Um hier die Fläche auszurechnen, die der Graph mit der x - Achse einschließt, nimmt man einfach die gebräuchlichen Flächenformeln, wie die Rechtecksformel oder die Dreiecksformel. | ||
:Hier siehst du ein [[Facharbeit Neutert/Flächenformel|Beispiel]] dazu. | :Hier siehst du ein [[Facharbeit Neutert/Flächenformel|Beispiel]] dazu. | ||
:Bei Funktionen mit höcheren Potenzen benötigt man die Hilfe der '''Integralrechnung'''. | :Bei Funktionen mit höcheren Potenzen benötigt man die Hilfe der '''Integralrechnung'''. | ||
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:'''Es muss gelten: F' (t) = f (t)''' | :'''Es muss gelten: F' (t) = f (t)''' | ||
{|width=90%| style="background-color:#F5F5F5; border: 1px solid #63B8FF; padding:0.5em" | {|width=90%| style="background-color:#F5F5F5; border: 1px solid #63B8FF; padding:0.5em" | ||
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:a ist die untere Grenze, b die obere. Die Funktion wird im Intervall [ a; b ] integriert. | :a ist die untere Grenze, b die obere. Die Funktion wird im Intervall [ a; b ] integriert. | ||
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::<span style="color: darkblue">Gebe die Funktion F (t) an und errechne mit ihr für a = 3, wieviel Liter in den ersten sechs Monaten durch den Fluss geflossen sind.</span> | ::<span style="color: darkblue">Gebe die Funktion F (t) an und errechne mit ihr für a = 3, wieviel Liter in den ersten sechs Monaten durch den Fluss geflossen sind.</span> | ||
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::<u>'''<span style="color: red">Merke:</span>'''</u> Die Funktion muss im Intervall stetig und differenzierbar sein ! Ist dies nicht erfüllt, ist eine Integration nicht möglich. | ::<u>'''<span style="color: red">Merke:</span>'''</u> Die Funktion muss im Intervall stetig und differenzierbar sein ! Ist dies nicht erfüllt, ist eine Integration nicht möglich. | ||
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===Aufgabe: Flächengleichheit zweier Funktionen=== | ===Aufgabe: Flächengleichheit zweier Funktionen=== |
Version vom 16. Januar 2010, 19:22 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Angabe
Mit Hilfe der folgenden Funktion kann man beispielsweise die Wasserstände eines Flusses vorherzusagen. Diese Beschreibung der Durchflussgeschwindigkeit sei durch die Funktionenschar fa mit , a > 0
Die Funktion gibt dabei die Durchflussgeschwindigkeit in und t die verstrichene Zeit in Monaten seit Beginn der Vorhersage (t = 0) an. Die Funktion berücksichtigt, dass es sich um einen Fluss handelt, der zeitweise austrocknet.
Aufgabe: Nullstellen
Es soll bestimmt werden, abhängig vom Parameter a, zu welchen Monaten kein Wasser durch den Fluss fließt.
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Aufgabe: Extremwerte
Es soll, in Abhängigkeit von a, ermittelt werden, zu welchen Zeitpunkten t ein relatives Maximum bzw. Minimum vorliegt. Diese Funktionswerte sollen berechnet werden.
Aufgabe: Extremwerte berechnen
Maxima und Minima sind Punkte auf einer Funktion, die in ihrem im Umkreis die höchsten beziehungsweise tiefsten Punkte auf dem Graphen sind. Um diese Extremwerte einer Funktion zu errechnen, wird die erste Ableitung benötigt.
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Aufgabe: Art der Extremwerte bestimmen
Man hat nun die Extremwerte in Abhängigkeit von a ermittelt. Um nun zu prüfen ob es sich bei den Extrema um Maxima oder Minima handelt, kann man hier anhand verschiedener Lösungen vorgehen.
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- Lösung 3: Vorzeichentabelle
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Aufgabe: Wendepunkt
Es soll, in Abhängigkeit von a bestimmt werden, wann die Druchflussgeschwindigkeit besonders stark absinkt. Dieser Wert soll zum Zeitpunkt t berechnet werden.
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Die blaue Funktion zeigt die Ableitung f '(t) der schwarzen Funktion f (t) für a = 3. |
Aufgabe: Theoretische Überlegungen zur Funktion
Warum liegt kein Punkt der Funktionsgraphen von fa im Bereich unterhalb der t - Achse und inwiefern ist dies mit dem zugrunde liegenden Sachverhalt vereinbar.
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Es soll nun das Verhalten von fa für angegeben werden und begründet werden, ob die Funktionen auch nach den ersten acht Monaten noch eine sinnvolle Beschreibung der Durchflussgeschwindigkeit liefern.
- Um das Verhalten eines Graphen, welcher gegen geht, zu bestimmen, wird statt f (t) geschrieben.
- Um nun bei einer Potenzfunktion den Grenzwert zu ermitteln,
- klammert man die höchste Potenz aus,
- erhält ein Produkt und kann somit leichter, als bei einer Summe, den Grenzwert bestimmen.
- Bestimme das Verhalten von fa für angegeben werden.
- Fürgeht die Funktion gegen +
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Funktion f (t), Ableitung f '(t) |
Aufgabe: Flächenberechnung einer Funktion
Ermittle für a = 3, wie viel Liter Wasser in den ersten sechs Monaten durch den Fluss fließen.
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- Gebe die Funktion F (t) an und errechne mit ihr für a = 3, wieviel Liter in den ersten sechs Monaten durch den Fluss geflossen sind.
- Die obere Grenze ist: 6 Nach den ersten sechs Monaten
- Die untere Grenze ist: 0
- Für a = 3 fließen in den ersten sechs Monaten 27*109 Liter Wasser durch den Fluss. ( 27*106 m3 = 27*109 Liter)
- Merke: Die Funktion muss im Intervall stetig und differenzierbar sein ! Ist dies nicht erfüllt, ist eine Integration nicht möglich.
Aufgabe: Flächengleichheit zweier Funktionen
Betrachte nun zwei unterschiedliche Funktionen fa1 und fa2. Es soll der Zeitpunkt bestimmt werden, zu dem für beide Funktionsannahmen (seit t = 0) genau gleich viel Wasser durch den Fluss geflossen wäre.
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- Im Weiteren wird eine Funktion mit Parameter a, die andere mit Parameter b bezeichnet. Wobei gilt:
- Fa (t) = Fb (t)
- Somit sind zwei Funktionen Fa und Fb flächenmäßig gleich groß, wenn für frei wählbares a und b gilt, dass sie bis
- integriert werden. Bei t0 handelt es sich um die obere Integrationsgrenze.