LK Mathematik Abitur NRW 2007: Unterschied zwischen den Versionen
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(→Aufgabe: Theoretische Überlegungen zur Funktion) |
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'''''<span style="color: darkorange">Warum liegt kein Punkt der Funktionsgraphen von f<sub>a</sub> im Bereich <math>t \ge 0</math> unterhalb der t - Achse und inwiefern ist dies mit dem zugrunde liegenden Sachverhalt vereinbar.</span>''''' | '''''<span style="color: darkorange">Warum liegt kein Punkt der Funktionsgraphen von f<sub>a</sub> im Bereich <math>t \ge 0</math> unterhalb der t - Achse und inwiefern ist dies mit dem zugrunde liegenden Sachverhalt vereinbar.</span>''''' | ||
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+ | :Der Bereich unter der t - Achse, in welchem <math>t \ge 0</math> ist, heißt IV. Quadrant. | ||
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+ | :Für die Funktion <math>f(t) = \frac{1}{4} t^3 - a t^2 + a^2 t</math> ist in diesem Quadranten kein Punkt definiert. | ||
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+ | ::''<span style="color: darkblue">Begründe dies.</span>'' | ||
::{{Lösung versteckt|1= | ::{{Lösung versteckt|1= | ||
− | ::Es liegt kein Punkt im Intervall <math>t \ge 0</math> unterhalb der t - Achse, da es hier um '''eine Funktion mit realem Bezug''' geht. Läge ein Punkt bei der gegebenen Aufgabenstellung im vierten Quadranten, würde dies bedeuten, dass '''eine negative Durchflussgeschwindigkeit vorliegt''' | + | ::Es liegt kein Punkt im Intervall <math>t \ge 0</math> unterhalb der t - Achse, |
+ | ::* da es hier um '''eine Funktion mit realem Bezug''' geht. | ||
+ | ::Läge ein Punkt bei der gegebenen Aufgabenstellung im vierten Quadranten, würde dies bedeuten, | ||
+ | ::* dass '''eine negative Durchflussgeschwindigkeit vorliegt''' | ||
+ | ::* und ein '''negatives Volumen an Wasser im Fluss''' vorhanden wäre. | ||
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+ | ::<u>Aus diesem Grund ist kein Punkt der Funktionsgraphen f<sub>a</sub> im vierten Quadranten definiert. Dies wäre ansonsten irreal.</u> | ||
}} | }} | ||
− | :Um das Verhalten eines Graphen, welcher gegen <math>+ \infty</math> geht, zu bestimmen, wird statt f (t) <math>\lim_{t\to\infty} f (t)</math> geschrieben. Um nun bei einer Potenzfunktion den Grenzwert zu ermitteln, klammert man die höchste Potenz aus, erhält ein Produkt und kann somit leichter, als bei einer Summe, den Grenzwert bestimmen. | + | |width=5px| |
+ | |valign="top" | | ||
+ | <ggb_applet width="417" height="418" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" /> | ||
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+ | :Um das Verhalten eines Graphen, welcher gegen <math>+ \infty</math> geht, zu bestimmen, wird statt f (t) <math>\lim_{t\to\infty} f (t)</math> geschrieben. | ||
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+ | :Um nun bei einer Potenzfunktion den Grenzwert zu ermitteln, | ||
+ | :* klammert man die höchste Potenz aus, | ||
+ | :* erhält ein Produkt und kann somit leichter, als bei einer Summe, den Grenzwert bestimmen. | ||
::''<span style="color: darkblue">Bestimme das Verhalten von f<sub>a</sub> für <math>t \rightarrow \infty</math> angegeben werden.</span>'' | ::''<span style="color: darkblue">Bestimme das Verhalten von f<sub>a</sub> für <math>t \rightarrow \infty</math> angegeben werden.</span>'' | ||
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}} | }} | ||
− | :Des Weiteren soll begründet werden, ob die Funktionen auch nach den ersten 8 Monate noch eine sinnvolle Beschreibung der Durchflussgeschwindigkeit liefern, aufgrund des berechneten Grenzwertes | + | |
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+ | :Des Weiteren soll begründet werden, ob die Funktionen auch nach den ersten 8 Monate noch eine sinnvolle Beschreibung der Durchflussgeschwindigkeit liefern, aufgrund des eben berechneten Grenzwertes. | ||
::{{Lösung versteckt|1= | ::{{Lösung versteckt|1= | ||
− | ::Nach den ersten 8 Monaten verhält sich die Funktion so, dass sie '''immer stärker ansteigt'''. | + | ::Nach den ersten 8 Monaten verhält sich die Funktion so, |
+ | :dass sie '''immer stärker ansteigt'''. (<span style="color: blue">blaue Parabelfunktion</span>) | ||
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+ | Wenn man nun, anhand der Funktion vorhersagen soll, wieviel Wasser in zwei Jahren ( also 24 Monaten ) '''ergibt sich ein Wasserstandswert, der mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit nicht erreicht werden wird'''. | ||
::Nehmen wir nun mal das Beispiel t = 24 und a = 3. | ::Nehmen wir nun mal das Beispiel t = 24 und a = 3. | ||
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+ | <ggb_applet width="319" height="411" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" /> | ||
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===Aufgabe: Flächenberechnung einer Funktion=== | ===Aufgabe: Flächenberechnung einer Funktion=== |
Version vom 15. Januar 2010, 19:22 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Angabe
Mit Hilfe der folgenden Funktion kann man beispielsweise die Wasserstände eines Flusses vorherzusagen. Diese Beschreibung der Durchflussgeschwindigkeit sei durch die Funktionenschar fa mit , a > 0
Die Funktion gibt dabei die Durchflussgeschwindigkeit in und t die verstrichene Zeit in Monaten seit Beginn der Vorhersage (t = 0) an. Die Funktion berücksichtigt, dass es sich um einen Fluss handelt, der zeitweise austrocknet.
Aufgabe: Nullstellen
Es soll bestimmt werden, abhängig vom Parameter a, zu welchen Monaten kein Wasser durch den Fluss fließt.
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Aufgabe: Extremwerte
Es soll, in Abhängigkeit von a, ermittelt werden, zu welchen Zeitpunkten t ein relatives Maximum bzw. Minimum vorliegt. Diese Funktionswerte sollen berechnet werden.
Aufgabe: Extremwerte berechnen
Maxima und Minima sind Punkte auf einer Funktion, die in ihrem im Umkreis die höchsten beziehungsweise tiefsten Punkte auf dem Graphen sind. Um diese Extremwerte einer Funktion zu errechnen, wird die erste Ableitung benötigt.
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Aufgabe: Art der Extremwerte berechnen
Man hat nun die Extremwerte in Abhängigkeit von a ermittelt. Um nun zu prüfen ob es sich bei den Extrema um Maxima oder Minima handelt, kann man hier anhand verschiedener Lösungen vorgehen.
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- Lösung 3: Vorzeichentabelle
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Aufgabe: Wendepunkt
Es soll, in Abhängigkeit von a bestimmt werden, wann die Druchflussgeschwindigkeit besonders stark absinkt. Dieser Wert soll zum Zeitpunkt t berechnet werden.
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Die blaue Funktion zeigt die Ableitung f '(t) der schwarzen Funktion f (t) für a = 3. |
Aufgabe: Theoretische Überlegungen zur Funktion
Warum liegt kein Punkt der Funktionsgraphen von fa im Bereich unterhalb der t - Achse und inwiefern ist dies mit dem zugrunde liegenden Sachverhalt vereinbar.
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- Um das Verhalten eines Graphen, welcher gegen
geht, zu bestimmen, wird statt f (t)
geschrieben.
- Um nun bei einer Potenzfunktion den Grenzwert zu ermitteln,
- klammert man die höchste Potenz aus,
- erhält ein Produkt und kann somit leichter, als bei einer Summe, den Grenzwert bestimmen.
- Bestimme das Verhalten von fa für
angegeben werden.
- Bestimme das Verhalten von fa für
- Für
geht die Funktion gegen +
- Für
Wenn man nun, anhand der Funktion vorhersagen soll, wieviel Wasser in zwei Jahren ( also 24 Monaten ) ergibt sich ein Wasserstandswert, der mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit nicht erreicht werden wird.
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Aufgabe: Flächenberechnung einer Funktion
Ermittle für a = 3, wie viel Liter Wasser in den ersten sechs Monaten durch den Fluss fließen.
- Um Auszurechnen, wieviel Kubikliter Wasser durch den Fluss fließen, errechnet man die Fläche unter der Funktion. Einfache, bereits bekannte Flächenberechnungen gibt es bei linearen Funktionen. Um hier die Fläche auszurechnen, die der Graph mit der x - Achse einschließt, nimmt man einfach die gebräuchlichen Flächenformeln, wie die Rechtecksformel oder die Dreiecksformel.
- Hier siehst du ein Beispiel dazu.
- Bei Funktionen mit höcheren Potenzen benötigt man die Hilfe der Integralrechnung.
- Es muss gelten: F' (t) = f (t)
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- a ist die untere Grenze, b die obere. Die Funktion wird im Intervall [ a; b ] integriert.
- Gebe die Funktion F (t) an und errechne mit ihr für a = 3, wieviel Liter in den ersten sechs Monaten durch den Fluss geflossen sind.
- Die obere Grenze ist: 6 Nach den ersten sechs Monaten
- Die untere Grenze ist: 0
- Für a = 3 fließen in den ersten sechs Monaten 27*109 Liter Wasser durch den Fluss. ( 27*106 m3 = 27*109 Liter)
- Merke: Die Funktion muss im Intervall stetig und differenzierbar sein ! Ist dies nicht erfüllt, ist eine Integration nicht möglich.
Aufgabe: Flächengleichheit zweier Funktionen
Betrachte nun zwei unterschiedliche Funktionen fa1 und fa2. Es soll der Zeitpunkt bestimmt werden, zu dem für beide Funktionsannahmen (seit t = 0) genau gleich viel Wasser durch den Fluss geflossen wäre.
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- Im Weiteren wird eine Funktion mit Parameter a, die andere mit Parameter b bezeichnet. Wobei gilt:
- Fa (t) = Fb (t)
- Somit sind zwei Funktionen Fa und Fb flächenmäßig gleich groß, wenn für frei wählbares a und b gilt, dass sie bis
integriert werden. Bei t0 handelt es sich um die obere Integrationsgrenze.