LK Mathematik Abitur NRW 2007: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 15. Januar 2010, 16:56 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Angabe

Eilif Peterssen- Sevilosen.jpg

Mit Hilfe der folgenden Funktion kann man beispielsweise die Wasserstände eines Flusses vorherzusagen. Diese Beschreibung der Durchflussgeschwindigkeit sei durch die Funktionenschar fa mit f(t) = \frac{1}{4} t^3 - a t^2 + a^2 t, a > 0

Die Funktion gibt dabei die Durchflussgeschwindigkeit in 106\frac{m^3}{Monat} und t die verstrichene Zeit in Monaten seit Beginn der Vorhersage

(t = 0) an. Die Funktion berücksichtigt, dass es sich um einen Fluss handelt, der zeitweise austrocknet.


Aufgabe: Nullstellen

Es soll bestimmt werden, abhängig vom Parameter a, zu welchen Monaten kein Wasser durch den Fluss fließt.

Es sind die Zeitpunkte gesucht, an denen der y - Wert Kubikmeter in Millionen gleich Null ist. An dieser Nullstelle fließt also kein Wasser durch den Fluss.


Aus der Animation des Applets kann man erkennen,
  • dass jede Funktion f (t) zwei Nullstellen besitzt.
  • dass die erste Nullstelle immer im Ursprung ist. N1( 0 / 0 )
  • dass die zweite Nullstelle
  • von a abhängig ist, da sie sich, bei Wechsel von a, verändert.
  • eine doppelte Nullstelle ist, da sie an der Stelle einen Vorzeichenwechsel der Steigung besitzt.


Errechne rechnerisch die beiden Nullstellen der Funktion. Setze dazu die Funktion gleich Null.


Aufgabe: Extremwerte

Es soll, in Abhängigkeit von a, ermittelt werden, zu welchen Zeitpunkten t ein relatives Maximum bzw. Minimum vorliegt. Diese Funktionswerte sollen berechnet werden.

Maxima und Minima sind Punkte auf einer Funktion, die in ihrem im Umkreis die höchsten beziehungsweise tiefsten Punkte auf dem Graphen sind. Um diese Extremwerte einer Funktion zu errechnen, wird die erste Ableitung benötigt.

Die allgemeine Ableitungsregel ist: f (x) = x^n \Rightarrow f'(x) = n * xn-1


Bestimme nun die erste Ableitung der Funktion f.
f'(t) = \frac{3}{4} t^2 - 2 a t + a^2


Zur Bestimmung der Koordinaten der Extremwerte:
  • Man setzt f '(t) = 0,
  • erhält eine quadratische Gleichung,
  • löst diese mit der Mitternachtsformel,
  • und setzt die erhaltenen t - Werte in die Funktion ein und erhält somit die y - Koordinaten der Extremwerte E1 und E2.
Errechne nun die Koordinaten der Extremwerte.
t_1 = 2 a \Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right)
t_2 = \frac{2}{3}a \Rightarrow E_2 \left( \frac{2}{3}a / \frac{8}{27}a^3 \right)
Jeder Graph Ga besitzt zwei Extremwerte. In der Funktion f3 sind es die unten eingezeichneten Punkte. Man sieht deutlich, dass an der Stelle, an der die Ableitung (blaue Funktion) gleich Null wird, die Extremwerte liegen.



Man hat nun die Extremwerte in Abhängigkeit von a ermittelt. Um nun zu prüfen ob es sich bei den Extrema um Maxima oder Minima handelt, kann man hier anhand verschiedener Lösungen vorgehen.

Lösung 1: Krümmungsverhalten an den Extremwerten
  • Man bestimmt die zweite Ableitung,
  • setzt die t - Werte der Extremwerte ein
  • und überprüft, ob f ' ' (t - Koordinate Extremwert)
  • < 0 \rightarrow Rechtskrümmung bzw Rechtskurve
\Rightarrow relatives Maximum
  • > 0 \rightarrow Linkskrümmung bzw Linkskurve
\Rightarrow relatives Minimum
Wäre die zweite Ableitung gleich Null, handelt es sich bei dem Extremwert um einen Terassenpunkt, dass heißt, dass die Steigung der Funktion keinen Vorzeichenwechsel an dieser Stelle hat.


Gib mit dieser Lösungsmöglichkeit die Art der Extremwerte an.
f ''(t) = \frac{3}{2} t - 2a
f ''(2a) = \frac{3}{2} * 2a - 2a = a
da a > 0 \rightarrow Rechtskrümmung \Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right) ist Minimum


f ''(\frac{2}{3}a ) = \frac{3}{2} * \frac{2}{3}a - 2a = - a
da a größer als Null definiert ist, gilt \rightarrow - (a) < 0 \rightarrow Linkskrümmung
\Rightarrow E_2\left( \frac{2}{3}a / \frac{8}{27}a^3 \right) ist Maximum
Lösung 2: h - Methode
Mit Hilfe der h - Methode untersucht man, wie sich der Graph "ein Stückchen links und ein Stückchen rechts" vom Extremwert verhält.
Dazu nimmt man die erste Ableitung,
  • setzt \lim_{h\to0} f '(t_0 - h)
  • und \lim_{h\to0} f '( t_0 + h) ein.
Dadurch erhält man das Verhalten der Steigung von Gf "ein Stückchen links und ein Stückchen rechts" vom Extremwert.
Versuche auch, mit Hilfe der h - Methode, die Art der Extrempunkte zu bestimmen.


\lim_{h\to0} f '(2a - h)< 0 und \lim_{h\to0} f '(2a + h)> 0
\lim_{h\to0} f '(\frac{2}{3}a - h)> 0 und \lim_{h\to0} f '(\frac{2}{3}a + h)< 0
Graphische Vorzustellung:
\Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right) ist Minimum,
  • da links von t = 2a der Graph fällt.
  • da rechts von t = 2a der Graph steigt.
\Rightarrow E_2\left( \frac{2}{3}a / \frac{8}{27}a^3 \right) ist Maximum
  • da links von t = \frac{2}{3}a der Graph steigt.
  • da rechts von t = \frac{2}{3}a der Graph fällt.


Lösung 3: Vorzeichentabelle
Man schreibt die Ableitung nicht als Summen, sondern als Produkte. Dies ist möglich, da man bereits die Nullstellen der Ableitungsfunktion errechnet hat. Die Ableitungsfunktion kann dann auch als
f '(t)= \left( x - t_1 \right) * \left( x - t_2 \right),
geschrieben werden. Hier sind die Werte t1 und t2 die t - Werte der Extrempunkte.
Nun stellt man eine Vorzeichentabelle für jeden Faktor auf und erhält durch multiplizieren der Vorzeichen das Monotonieverhalten und dadurch die Arten der Extremwerte.
Erstelle mit Hilfe des umgeformten Ableitungsproduktes eine Vorzeichentabelle und vergleiche sie mit dem rechts gezeigten Monotonieverhalten.
\Rightarrow f '(t) = \left( x - 2a \right) * \left( x - \frac{2}{3}a \right)

Vorzeichentabelle1.jpg

Merke: Durch das Aufstellen einer Vorzeichentabelle erhält man das Monotonieverhalten des Graphen und kann sich somit die Art der Extremwerte erschließen.

Monotonieverhalten des Graphen Gf

Aufgabe: Wendepunkt

Es soll, in Abhängigkeit von a bestimmt werden, wann die Druchflussgeschwindigkeit besonders stark absinkt. Dieser Wert soll zum Zeitpunkt t berechnet werden.

Hier ist der Punkt gesucht, an dem die Durchflussgeschwindigkeit am stärksten absinkt. Dazu schaut man sich die erste Ableitung näher an, da diese die Steigung eines Graphen Gf zeigt.

Es ist also das Minimum der ersten Ableitung gesucht. Dazu setzt man die Ableitung von f '(t) gleich Null. Die Ableitung der Ableitung ist gleich der zweiten Ableitung der Funktion f (t). An dem erhaltenem Punkt besitzt der Graph Gf den größten negativen Steigungswert. Dieser Punkt heißt Wendepunkt. An ihm ändert der Graph sein Krümmungsverhalten.
Errechne die Koordinaten des Wendepunktes.
\Rightarrow f ''(t)= 0 \rightarrow \frac{3}{2} t - 2a = 0 \Rightarrow t = \frac{4}{3}a
f ( \frac{4}{3}a ) = \frac{4}{27}a^3 \Rightarrow WP \left( \frac{4}{3}a / \frac{4}{27}a^3 \right)
Der Punkt, an welchem die Funktion besonders stark abfällt ist zugleich der Wendepunkt WP \left( \frac{4}{3}a / \frac{4}{27}a^3 \right)
Merke: Es handelt sich nur um einen Wendepunkt, wenn folgende Kriterien erfüllt sind.
\Rightarrow f''(t_0) = 0
\Rightarrow f'''(t_0) \neq 0


Aufgabe: Theoretische Überlegungen zur Funktion

Warum liegt kein Punkt der Funktionsgraphen von fa im Bereich t \ge 0 unterhalb der t - Achse und inwiefern ist dies mit dem zugrunde liegenden Sachverhalt vereinbar.

Begründe dies.
Es liegt kein Punkt im Intervall t \ge 0 unterhalb der t - Achse, da es hier um eine Funktion mit realem Bezug geht. Läge ein Punkt bei der gegebenen Aufgabenstellung im vierten Quadranten, würde dies bedeuten, dass eine negative Durchflussgeschwindigkeit vorliegt. Dies ist nicht möglich, da sonst ein negatives Volumen an Wasser im Fluss vorhanden wäre. Deshalb ist kein Punkt der Funktionsgraphen fa im vierten Quadranten definiert.


Um das Verhalten eines Graphen, welcher gegen + \infty geht, zu bestimmen, wird statt f (t) \lim_{t\to\infty} f (t) geschrieben. Um nun bei einer Potenzfunktion den Grenzwert zu ermitteln, klammert man die höchste Potenz aus, erhält ein Produkt und kann somit leichter, als bei einer Summe, den Grenzwert bestimmen.
Bestimme das Verhalten von fa für t \rightarrow \infty angegeben werden.
\lim_{t\to\infty} f (t) = \lim_{t\to\infty} \frac{1}{4} t^3 - a t^2 + a^2
\lim_{t\to\infty} t^3 \left( \frac{1}{4} - \frac{a}{t} + \frac{a^2}{t^2} \right)
\lim_{t\to\infty} \infty * \frac{1}{4} = \infty
Für t\to\inftygeht die Funktion gegen + \infty
Des Weiteren soll begründet werden, ob die Funktionen auch nach den ersten 8 Monate noch eine sinnvolle Beschreibung der Durchflussgeschwindigkeit liefern, aufgrund des berechneten Grenzwertes in der vorherigen Aufgabe.
Nach den ersten 8 Monaten verhält sich die Funktion so, dass sie immer stärker ansteigt. Dies ist an der Parabel, welche die Steigung anzeigt, erkennbar. Da die Funktion fa (t) vorhersagen soll, wieviel Wasser sich zu einem Zeitpunkt t im Wasser befindet. Wenn man nun, anhand der Funktion vorhersagen soll, wieviel Wasser in zwei Jahren ( also 24 Monaten ) ergibt sich ein Wasserstandswert, der mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit nicht erreicht werden wird.
Nehmen wir nun mal das Beispiel t = 24 und a = 3.
\frac{1}{4}*24^3 - 24^2*3 + 24*3^2= 1944
Da das Ergebnis in Millionenkubikmeter pro Monat angegeben ist, wäre dann der Wert 1,944*10^9 \frac{m^3}{Monat}. Dieser Wasserstandswert wäre eine ziemlich grobe Abweichung vom Realwert. Aus diesem Grund handelt es sich bei der Funktion eher um eine Sinusähnliche Funktion, als um eine, die gen Unendlich exponential ansteigt. Dies würde heißen, dass das zweite Austrocknen auf der t - Achse verschoben wird, wieder als t = 0 definiert werden würde, und die Funktion fa (t) wieder von vorne starten würde.


Aufgabe: Flächenberechnung einer Funktion

Ermittle für a = 3, wie viel Liter Wasser in den ersten sechs Monaten durch den Fluss fließen.

Um Auszurechnen, wieviel Kubikliter Wasser durch den Fluss fließen, errechnet man die Fläche unter der Funktion. Einfache, bereits bekannte Flächenberechnungen gibt es bei linearen Funktionen. Um hier die Fläche auszurechnen, die der Graph mit der x - Achse einschließt, nimmt man einfach die gebräuchlichen Flächenformeln, wie die Rechtecksformel oder die Dreiecksformel.
Hier siehst du ein Beispiel dazu.
Bei Funktionen mit höcheren Potenzen benötigt man die Hilfe der Integralrechnung.
Es muss gelten: F' (t) = f (t)
Die allgemeine Integrationsregel: \int_{a}^{b} x^n \,dx = \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} \right]_{a}^{b}
a ist die untere Grenze, b die obere. Die Funktion wird im Intervall [ a; b ] integriert.
Gebe die Funktion F (t) an und errechne mit ihr für a = 3, wieviel Liter in den ersten sechs Monaten durch den Fluss geflossen sind.
\int_{x}^{y} f (t)\,dt = \frac{1}{16}t^4 - \frac{a*t^3}{3} + \frac{a^2*t^2}{2} + c
Die obere Grenze ist: 6 Nach den ersten sechs Monaten
Die untere Grenze ist: 0
\int_{0}^{6} f (t)\,dt = \left[ \frac{1}{16}t^4 - \frac{3*t^3}{3} + \frac{3^2*t^2}{2}\right ]_{0}^{6} = 27 - 0 = 27
Für a = 3 fließen in den ersten sechs Monaten 27*109 Liter Wasser durch den Fluss. ( 27*106 m3 = 27*109 Liter)
Merke: Die Funktion muss im Intervall stetig und differenzierbar sein ! Ist dies nicht erfüllt, ist eine Integration nicht möglich.

Aufgabe: Flächengleichheit zweier Funktionen

Betrachte nun zwei unterschiedliche Funktionen fa1 und fa2. Es soll der Zeitpunkt bestimmt werden, zu dem für beide Funktionsannahmen (seit t = 0) genau gleich viel Wasser durch den Fluss geflossen wäre.

Entwicklung einer Idee:
Die Aufgabe kann man sich so vorzustellen,
  • dass für zwei verschiedene a,
  • bis zu einer bestimmten Grenze, hier die gesuchte obere Grenze
  • die Flächen unter dem Graphen der jeweiligen Funktion, gleich groß sind.


Schön ist im Applet zu sehen, dass die blaue Fläche immer genauso groß ist, wie die rote Fläche, obwohl die Flächen nicht deckungsgleich sind. Durch Veränderung der Schieberegler fällt auf, dass der Zeitpunkt t0 sowohl von a, als auch von b, abhängig sein muss.


Nun kann man durch Gleichsetzen zweier unterschiedlicher Funktionen Fa und Fb die obere Grenze errechnen.

c: Flächeninhalt blau, d: Flächeninhalt rot
Im Weiteren wird eine Funktion mit Parameter a, die andere mit Parameter b bezeichnet. Wobei gilt:
a \neq b
Fa (t) = Fb (t)
\frac{1}{16}t^4 - \frac{a*t^3}{3} + \frac{a^2*t^2}{2} = \frac{1}{16}t^4 - \frac{b*t^3}{3} + \frac{b^2*t^2}{2}
\frac{t^3}{3} \left( b - a \right) + \frac{t^2}{2} \left( a + b\right) \left( a - b \right) = 0
\left( b - a \right) * \left( \frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} \left( a + b \right) \right) = 0
\left( b - a \right) \neq 0 \Rightarrow \frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} \left( a + b \right) = 0
2 t^3 = 3 t^2 \left( a + b \right) // * \frac{1}{t^2}
\Rightarrow t = \frac{3a+3b}{2}
Somit sind zwei Funktionen Fa und Fb flächenmäßig gleich groß, wenn für frei wählbares a und b gilt, dass sie bis
t_0 = \frac{3a+3b}{2} integriert werden. Bei t0 handelt es sich um die obere Integrationsgrenze.
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