LK Mathematik Abitur NRW 2007: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 8. Januar 2010, 16:16 Uhr

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1 Angabe

Angabe

Mit Hilfe der folgenden Funktion kann man beispielsweise die Wasserstände eines Flusses vorherzusagen. Diese Beschreibung der Durchflussgeschwindigkeit sei durch die Funktionenschar f_a mit $f(t) = \frac{1}{4} t^3 - a t^2 + a^2 t$ , a > 0

Die Funktion gibt dabei die Durchflussgeschwindigkeit in 10⁶ $\frac{m^3}{Monat}$ und t die verstrichene Zeit in Monaten seit Beginn der Vorhersage

(t = 0) an. Die Funktion berücksichtigt, dass es sich um einen Fluss handelt, der zeitweise austrocknet.

Aufgabe: Nullstellen

Es soll bestimmt werden, abhängig vom Parameter a, zu welchen Monaten kein Wasser durch den Fluss fließt.

Es sind die Zeitpunkte gesucht, an denen der y - Wert Kubikmeter in Millionen gleich Null ist. An dieser Nullstelle fließt also kein Wasser durch den Fluss. Folglich ist f_a (t) = 0 zu setzen.

Was fällt auf, wenn man mit Hilfe des Schiebereglers den Parameter a verändert?

Applet anzeigen

Jede Funktion $f(x)$ , unabhängig vom Parameter a, schneidet den Ursprung. Das ist die erste Nullstelle, welche der Graph besitzt. Sie ist also unabhänig von a Dies kann man leicht aus der Funktion ablesen, da man eben diese Nullstelle durch einfaches Ausklammern erhält.

$f(t) = t (\frac{1}{4} t^2 - a t + a^2) \rightarrow t_1 = 0 \Rightarrow N_1\left( 0 / 0 \right)$

Die andere Nullstelle wird mit wachsendem Parameter a immer weiter vom Ursprung entfernt. Sie ist also abhängig von a. Sie ist, wie man im Applet sieht, eine doppelte Nullstelle, was heißt, dass sie an der Stelle einen Vorzeichenwechsel bezüglich der Steigung besitzt. Sie schneidet nicht die t - Achse, sie berührt sie nur. Löst man die Quadratische Gleichung mit Hilfe der Mitternachtsformel erhält man die zweite Nullstelle.

$\frac{1}{4} t^2 - a t + a^2 \rightarrow t_2 = 2a \Rightarrow N_2\left( 2a / 0 \right)$

Der Fluss trocknet zu den Zeitpunkten t = 0 und t = 2a aus, es fließt also kein Wasser durch den Fluss.

Aufgabe: Extremwerte

Es soll, in Abhängigkeit von a, ermittelt werden, zu welchen Zeitpunkten t ein relatives Maximum bzw. Minimum vorliegt. Diese Funktionswerte sollen berechnet werden.

Maxima und Minima sind Punkte auf einer Funktion, die in ihrem im Umkreis die höchsten beziehungsweise tiefsten Punkte auf dem Graphen sind. Um diese Extremwerte einer Funktion zu errechnen, wird die erste Ableitung benötigt.

Die allgemeine Ableitungsregel ist: $f (x) = x^n \Rightarrow f'(x) = n * x$ ^n-1

Bestimme nun die erste Ableitung der Funktion $f(t) = \frac{1}{4} t^3 - a t^2 + a^2 t$

$f'(t) = \frac{3}{4} t^2 - 2 a t + a^2$

Errechne nun die Koordinaten der Extremwerte.

Um die t - Werte der Extremwerte zu erhalten, setzt man die Funktion f '(t) = 0. Da man nun eine quadratischen Gleichung bekommt, kann man, mit Hilfe der "Mitternachtsformel", die beiden Lösungen ausrechnen. Schließlich setzt man die errechneten t - Werte in die Funktion ein und erhält somit die y - Koordinaten der Extremwerte E₁ und E₂.

$\rightarrow t_1 = 2 a \Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right)$

$\rightarrow t_2 = \frac{2}{3}a \Rightarrow E_2 \left( \frac{2}{3}a / \frac{8}{27}a^3 \right)$

Am Schönsten sind die Extremwerte für a = 3 zu errechnen und graphisch zu sehen, da sich die Koordinaten

$E_1$ ( 6 / 0 ) und $E_2$ ( 2 / 8 ) ergeben.

Funktionsgraph für a = 3 anzeigen

Man hat nun die Extremwerte in Abhängigkeit von a ermittelt. Um nun zu prüfen ob es sich bei den Extrema um Maxima oder Minima handelt, kann man hier anhand verschiedener Lösungen vorgehen.

Lösung 1: Krümmungsverhalten an den Extremwerten

Dazu setzt man einfach die t - Koordinate in die zweite Ableitung ein. Wird die zweite Ableitung größer Null ist es ein Minimum und die Funktion ist linksgekrümmt, dass heißt es handelt sich um eine "Linkskurve". Ist die zweite Ableitung hingegen kleiner Null, handelt es sich um eine Rechtskrümmung und um ein Maximum. Wäre die zweite Ableitung gleich Null, handelt es sich bei dem Extremwert um einen Terassenpunkt, dass heißt, dass die Steigung der Funktion keinen Vorzeichenwechsel an dieser Stelle hat.

Gib mit dieser Lösungsmöglichkeit die Art der Extremwerte an.

Die zweite Ableitung lautet: $f ''(t) = \frac{3}{2} t - 2a$

$f ''(2a) = \frac{3}{2} * 2a - 2a = a$

da a > 0 $\rightarrow$ Rechtskrümmung $\Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right)$ ist Minimum

$f ''(\frac{2}{3}a ) = \frac{3}{2} * \frac{2}{3}a - 2a = - a$

da a größer als Null definiert ist, gilt $\rightarrow$ - (a) < 0 $\rightarrow$ Linkskrümmung $\Rightarrow E_2\left( \frac{2}{3}a / \frac{8}{27}a^3 \right)$ ist Maximum

Lösung 2: h - Methode

Mit Hilfe der h - Methode untersucht man, wie sich der Graph "ein Stückchen links und ein Stückchen rechts" vom Extremwert verhält. Dazu nimmt man die erste Ableitung, setzt einmal f '( $2a - h$ ) und einmal f '( $2a + h$ ) ein, um das Verhalten von G_f für t < 2a bzw t > 2a zu bestimmen. Ergibt sich hier je ein positiver und ein negativer Wert, weiß man, dass es sich um einen Extremwert handelt. Ist beispielsweise f '( $t_1 - h$ ) < 0 und f '( $t_1 + h$ ) > 0, dann liegt ein Minimum vor, da links vom Extremwert der Graph fällt, und rechts steigt. Wenn sich zweimal das gleiche Vorzeichen für t < 2a bzw t > 2a ergeben sollte, dann handelt es sich um keinen direkten Extremwert, sondern um einen, wie bereits in Lösung 1 beschriebenen, Terassenpunkt.

Versuche auch, mit Hilfe der h - Methode, die Art der Extrempunkte zu bestimmen.

$\lim_{h\to0} f '(2a + h)> 0$ und $\lim_{h\to0} f '(2a - h)< 0$

$\lim_{h\to0} f '(\frac{2}{3}a + h)< 0$ und $\lim_{h\to0} f '(\frac{2}{3}a - h)> 0$

Daraus ergibt sich nun folgendes, graphisches Monotonieverhalten.

$\Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right)$ ist Minimum

$\Rightarrow E_2\left( \frac{2}{3}a / \frac{8}{27}a^3 \right)$ ist Maximum

Lösung 3: Vorzeichentabelle

Man schreibt die Ableitung nicht als Summen, sondern als Produkte. Da mann die Nullstellen der ersten Ableitung kennt, kann man dies machen. Allgemein würde es heißen

$f '(t)= \left( x - t_1 \right) * \left( x - t_2 \right)$ ,

wobei t₁ und t₂ die t - Werte des Extrempunktes sind.

Nun stellt man eine Vorzeichentabelle für jeden Faktor auf und erhält durch multiplizieren der Vorzeichen das Monotonieverhalten und dadurch die Arten der Extremwerte.

Zerlege die Ableitung in ein Produkt und verdeutliche mit Hilfe einer Vorzeichentabelle die Art der Extremwerte.

$f '(t) = \frac{3}{4} t^2 - 2 a t + a^2 = \left( x - 2a \right) * \left( x - \frac{2}{3}a \right)$

Vorzeichentabelle

Aufgabe: Wendepunkt

Es soll, in Abhängigkeit von a bestimmt werden, wann die Druchflussgeschwindigkeit besonders stark absinkt. Dieser Wert soll zum Zeitpunkt t berechnet werden.

Hier ist der Punkt gesucht, an dem die Durchflussgeschwindigkeit am stärksten absinkt. Dazu schaut man sich die erste Ableitung näher an, da diese die Steigung eines Graphen G_f zeigt.

Ableitungsfunktion anzeigen

Es ist also das Minimum der ersten Ableitung gesucht. Dazu setzt man die Ableitung von f '(t) gleich Null. Die Ableitung der Ableitung ist gleich der zweiten Ableitung der Funktion f (t). An dem erhaltenem Punkt besitzt der Graph G_f den größten negativen Steigungswert. Dieser Punkt heißt Wendepunkt. An ihm ändert der Graph sein Krümmungsverhalten.

Errechne die Koordinaten des Wendepunktes.

$\Rightarrow f ''(t)= 0 \rightarrow \frac{3}{2} t - 2a = 0 \Rightarrow t = \frac{4}{3}a$

$f ( \frac{4}{3}a ) = \frac{4}{27}a^3 \Rightarrow WP \left( \frac{4}{3}a / \frac{4}{27}a^3 \right)$

Der Punkt, an welchem die Funktion besonders stark abfällt ist zugleich der Wendepunkt $WP \left( \frac{4}{3}a / \frac{4}{27}a^3 \right)$

Merke: Es handelt sich nur um einen Wendepunkt, wenn folgende Kriterien erfüllt sind.

$\Rightarrow f''(t_0) = 0$

$\Rightarrow f'''(t_0) \neq 0$

Aufgabe: Theoretische Überlegungen zur Funktion

Warum liegt kein Punkt der Funktionsgraphen von f_a im Bereich $t \ge 0$ unterhalb der t - Achse und inwiefern ist dies mit dem zugrunde liegenden Sachverhalt vereinbar.

Begründe dies.

Es liegt kein Punkt im Intervall $t \ge 0$ unterhalb der t - Achse, da es hier um eine Funktion mit realem Bezug geht. Läge ein Punkt bei der gegebenen Aufgabenstellung im vierten Quadranten, würde dies bedeuten, dass eine negative Durchflussgeschwindigkeit vorliegen würde. Dies ist nicht möglich, da es heißen würde, dass ein negatives Volumen an Wasser im Fluss ist. Deshalb ist kein Punkt der Funktionsgraphen f_a im vierten Quadranten definiert.

Es soll das Verhalten von f_a für $t \rightarrow \infty$ angegeben werden. Des Weiteren soll begründet werden, ob die Funktionen auch nach den ersten 8 Monate noch eine sinnvolle Beschreibung der Durchflussgeschwindigkeit liefern.

$\lim_{t\to\infty} f (t) = \lim_{t\to\infty} \frac{1}{4} t^3 - a t^2 + a^2$

(Höchste Potenz ausklammern!)

$\lim_{t\to\infty} t^3 \left( \frac{1}{4} - \frac{a}{t} + \frac{a^2}{t^2} \right)$

$\lim_{t\to\infty} \infty * \frac{1}{4} = \infty$

Für $t\to\infty$ geht die Funktion gegen + $\infty$

Nach den ersten 8 Monaten verhält sich die Funktion so, dass sie immer stärker ansteigt. Dies ist an der Parabel, welche die Steigung anzeigt, erkennbar. Da die Funktion f_a (t) vorhersagen soll, wieviel Wasser sich zu einem Zeitpunkt t im Wasser befindet. Wenn man nun, anhand der Funktion vorhersagen soll, wieviel Wasser in zwei Jahren ( also 24 Monaten ) ergibt sich ein Wasserstandswert, der mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit nicht erreicht werden wird.

Nehmen wir nun mal das Beispiel t = 24 und a = 3.

$\frac{1}{4}*24^3 - 24^2*3 + 24*3^2= 1944$

Da das Ergebnis in Millionenkubikmeter pro Monat angegeben ist, wäre dann der Wert $1,944*10^9 \frac{m^3}{Monat}$ . Dieser Wasserstandswert wäre eine ziemlich grobe Abweichung vom Realwert. Aus diesem Grund handelt es sich bei der Funktion eher um eine Sinusähnliche Funktion, als um eine, die gen Unendlich exponential ansteigt. Dies würde heißen, dass das zweite Austrocknen auf der t - Achse verschoben wird, wieder als t = 0 definiert werden würde, und die Funktion f_a (t) wieder von vorne starten würde.

Aufgabe: Flächenberechnung einer Funktion

Ermittle für a = 3, wie viel Liter Wasser in den ersten sechs Monaten durch den Fluss fließen.

Dazu wird die Funktion gesucht, deren Ableitung die Funktion f_a (t) ist. Gebe diese Funktion an und errechne mit ihr für a = 3, wieviel Liter durch den Fluss geflossen sind.

$\int_{x}^{y} f (t)\,dt = \frac{1}{16}t^4 - \frac{a*t^3}{3} + \frac{a^2*t^2}{2} + c$

Die obere Grenze ist: 6 Nach den ersten sechs Monaten

Die untere Grenze ist: 0

$\int_{0}^{6} f (t)\,dt =$ $\left[ \frac{1}{16}t^4 - \frac{3*t^3}{3} + \frac{3^2*t^2}{2}\right ]_{0}^{6} = 27 - 0 = 27$

Für a = 3 fließen in den ersten sechs Monaten 27*10⁹ Liter Wasser durch den Fluss. ( 27*10⁶ m³ = 27*10⁹ Liter)

Aufgabe: Flächengleichheit zweier Funktionen

Betrachte nun zwei unterschiedliche Funktionen f_a1 und f_a2. Es soll der Zeitpunkt bestimmt werden, zu dem für beide Funktionsannahmen (seit t = 0) genau gleich viel Wasser durch den Fluss geflossen wäre.

Dazu werden zwei Integralfunktionen F_a1 und F_a2 gleichgesetzt und so weit wie möglich nach t aufgelöst.

Im Weiteren wird eine Funktion mit Parameter a, die andere mit Parameter b bezeichnet. Wobei gilt:

$a \neq b$

F_a (t) = F_b (t)

$\frac{1}{16}t^4 - \frac{a*t^3}{3} + \frac{a^2*t^2}{2} = \frac{1}{16}t^4 - \frac{b*t^3}{3} + \frac{b^2*t^2}{2}$

$\frac{t^3}{3} \left( b - a \right) + \frac{t^2}{2} \left( a + b\right) \left( a - b \right) = 0$

$\left( b - a \right) * \left( \frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} \left( a + b \right) \right) = 0$

$\left( b - a \right) \neq 0 \Rightarrow \frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} \left( a + b \right) = 0$

$2 t^3 = 3 t^2 \left( a + b \right) // * \frac{1}{t^2}$

$\Rightarrow t = \frac{3a+3b}{2}$

Applet zur Fläche anzeigen

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 <popup name="Ableitungsfunktion">
+Da es sich bei der ersten Ableitung um eine nach oben geöffnete Parabel handelt, ist das Minimum des Graphen gleichzeitig der Punkt, an dem die Steigung besonders stark abfällt.
 <ggb_applet width="800" height="600" filename="Wendepunktaufgabe.ggb‎" showResetIcon="true" />
 </popup>
-:Da es sich bei der ersten Ableitung um eine nach oben geöffnete Parabel handelt, ist das Minimum des Graphen gleichzeitig der Punkt, an dem die Steigung besonders stark abfällt. Es ist also das Minimum der ersten Ableitung gesucht. Dazu setzt man die Ableitung von f '(t) gleich Null. Die Ableitung der Ableitung ist gleich der zweiten Ableitung einer Funktion. An ihm besitzt der Graph G<sub>f</sub> den größten negativen Wert. Dieser Punkt heißt Wendepunkt. An ihm ändert der Graph sein Krümmungsverhalten.
+:Es ist also das Minimum der ersten Ableitung gesucht. Dazu setzt man die Ableitung von f '(t) gleich Null. Die Ableitung der Ableitung ist gleich der zweiten Ableitung der Funktion f (t). An dem erhaltenem Punkt besitzt der Graph G<sub>f</sub> den größten negativen Steigungswert. Dieser Punkt heißt Wendepunkt. An ihm ändert der Graph sein Krümmungsverhalten.
-::<span style="color: darkblue">Errechne die Koordinaten des Wendepunkts.</span>
+::<span style="color: darkblue">Errechne die Koordinaten des Wendepunktes.</span>
 ::{{Lösung versteckt|1=
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 ::<u>Der Punkt, an welchem die Funktion besonders stark abfällt ist zugleich der Wendepunkt</u> <math>WP \left( \frac{4}{3}a / \frac{4}{27}a^3 \right)</math>
+::'''<u><span style="color: red">Merke:</span></u>''' Es handelt sich nur um einen Wendepunkt, wenn folgende Kriterien erfüllt sind.
+::<math>\Rightarrow f''(t_0) = 0</math>
+::<math>\Rightarrow f'''(t_0) \neq 0</math>
 }}

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Aufgabe: Nullstellen

Aufgabe: Extremwerte

Aufgabe: Wendepunkt

Aufgabe: Theoretische Überlegungen zur Funktion

Aufgabe: Flächenberechnung einer Funktion

Aufgabe: Flächengleichheit zweier Funktionen

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