Lösung zur Teilaufgabe b): Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 5. Januar 2010, 17:36 Uhr

1. Eigenschaften einer Stammfunktion von f_a

1.) Von $-\infty < x < a$ verläuft der Graph G_{f_a} unterhalb der x-Achse und ist somit negative. Daraus kann man schließen, das der Graph G_{F_a} in diesem Intervall streng monoton fallend ist.
Von $a < x < \infty$ verläuft der Graph G_{f_a} oberhalb der x-Achse und ist somit positive. Daraus kann man schließen, dass der Graph G_{F_a} in diesem Intervall streng monoton steigend ist.

2.) Bei $x = a$ ist der Graph G_{f_a} gleich Null ( G_{f_a} = 0 )und das Steiguungsverhalten von G_{F_a} ändert für $x < a$ und $x > a$ das Vorzeichen. Deshalb kann man sagen, dass der Graph G_{F_a} an der Stell $x = a$ einen Extrempunkt, in diesem Fall einen Tiefpunkt ( Minimum ) hat, da sich das Monotonieverhalten von streng monoton fallend in streng monoton steigend verändert.

2. Bestimmung einer Stammfunktion von f_a durch partielle Integration

Hilfe zur partiellen Integration

$\int_{a}^{b} f_a ( x )\,dx = ( x - a ) e^{a + 2 - x}$

Definiere:

$u ( x ) = x - a$
$u ^{'} ( x ) = 1$

$v ( x ) = e^{a + 2 - x}$
$v ^{'} ( x ) = -e^{a + 2 - x}$

für Interessierte: Der Holzweg

3. Flächenberechnung, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckenden Fläche, zwischen der x- Achse und der Funktion f₂ im I. Quadranten

Hinweis: $\lim_{x\to\infty}$ xe^-x =0

Da die Nullstelle der Funktion f_a bei x = a liegt, folgt daraus, dass die Nullstelle der Funktion f₂ bei x = 2 liegt. Das heißt, man muss von zwei bis unendlich integrieren.



             

             

             
             
                                             

             
 
             

Der Flaecheninhalt, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckt, betraegt e².

@@ Zeile 33: / Zeile 33: @@
 ::Hinweis: <math>\lim_{x\to\infty}</math>'''xe<sup>-x</sup> =0'''
-Da die Nullstelle der Funktion f<sub>a</sub> bei x = a liegt, folgt daraus, das die Nullstelle der Funktion f<sub>2</sub> bei x = 2 liegt. Das heißt, man muss von zwei bis unendlich integrieren.
+Da die Nullstelle der Funktion f<sub>a</sub> bei x = a liegt, folgt daraus, dass die Nullstelle der Funktion f<sub>2</sub> bei x = 2 liegt. Das heißt, man muss von zwei bis unendlich integrieren.
   <math>\int_{2}^{b} f_a( x ) = [-e^{2 + 2 - x} ( x - 2 + 1 )]^{b}_{2}</math><br />

Lösung zur Teilaufgabe b): Unterschied zwischen den Versionen

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1. Eigenschaften einer Stammfunktion von f_a

2. Bestimmung einer Stammfunktion von f_a durch partielle Integration

3. Flächenberechnung, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckenden Fläche, zwischen der x- Achse und der Funktion f₂ im I. Quadranten

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Lösung zur Teilaufgabe b): Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 5. Januar 2010, 17:36 Uhr

1. Eigenschaften einer Stammfunktion von fa

2. Bestimmung einer Stammfunktion von fa durch partielle Integration

3. Flächenberechnung, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckenden Fläche, zwischen der x- Achse und der Funktion f2 im I. Quadranten

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2. Bestimmung einer Stammfunktion von f_a durch partielle Integration

3. Flächenberechnung, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckenden Fläche, zwischen der x- Achse und der Funktion f₂ im I. Quadranten