Lösung zur Teilaufgabe b): Unterschied zwischen den Versionen
(→1. Eigenschaften einer Stammfunktion von fa) |
(→2. Bestimmung einer Stammfunktion von fa durch partielle Integration) |
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<math> \int_{a}^{b} f_a ( x )\,dx = ( x - a ) e^{a + 2 - x}</math> <br /> | <math> \int_{a}^{b} f_a ( x )\,dx = ( x - a ) e^{a + 2 - x}</math> <br /> | ||
− | + | <math>=[( x - a )\cdot (-e^{a + 2 - x}) ]^{b}_{a} - \int_{a}^{b} 1 \cdot (-e^{a + 2 - x})\,dx</math> | |
− | + | <math>=[( x - a )\cdot (-e^{a + 2 - x}) - e^{a + 2 - x}]^{b}_{a}</math> | |
− | + | <math>=[-e^{a + 2 - x} ( x - a + 1 )]^{b}_{a}</math> | |
<math>\Rightarrow F_a( x ) = -e^{a + 2 - x} ( x - a + 1 ) + c</math> | <math>\Rightarrow F_a( x ) = -e^{a + 2 - x} ( x - a + 1 ) + c</math> | ||
für Interessierte: [[Der Holzweg]] | für Interessierte: [[Der Holzweg]] | ||
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=== 3. Flächenberechnung, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckenden Fläche, zwischen der x- Achse und der Funktion f<sub>2</sub> im I. Quadranten === | === 3. Flächenberechnung, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckenden Fläche, zwischen der x- Achse und der Funktion f<sub>2</sub> im I. Quadranten === |
Version vom 5. Januar 2010, 17:33 Uhr
1. Eigenschaften einer Stammfunktion von fa
1.) Von verläuft der Graph Gfa unterhalb der x-Achse und ist somit negative. Daraus kann man schließen, das der Graph GFa in diesem Intervall streng monoton fallend ist.
Von verläuft der Graph Gfa oberhalb der x-Achse und ist somit positive. Daraus kann man schließen, dass der Graph GFa in diesem Intervall streng monoton steigend ist.
2.) Bei ist der Graph Gfa gleich Null ( Gfa = 0 )und das Steiguungsverhalten von GFa ändert für und das Vorzeichen. Deshalb kann man sagen, dass der Graph GFa an der Stell einen Extrempunkt, in diesem Fall einen Tiefpunkt ( Minimum ) hat, da sich das Monotonieverhalten von streng monoton fallend in streng monoton steigend verändert.
2. Bestimmung einer Stammfunktion von fa durch partielle Integration
Hilfe zur partiellen Integration
Definiere:
für Interessierte: Der Holzweg
3. Flächenberechnung, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckenden Fläche, zwischen der x- Achse und der Funktion f2 im I. Quadranten
- Hinweis: xe-x =0
Da die Nullstelle der Funktion fa bei x = a liegt, folgt daraus, das die Nullstelle der Funktion f2 bei x = 2 liegt. Das heißt, man muss von zwei bis unendlich integrieren.
Der Flaecheninhalt, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckt, betraegt e2.