Abi 2013 Analysis I Teil B: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 15. April 2018, 14:55 Uhr
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Gegeben ist die in IR definierte Funktion  a) Weisen Sie rechnerisch nach, dass Gf punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist, und machen Sie anhand des Funktionsterms
von f plausibel, dass  b)Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art der Extrempunkte von Gf.
 c) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate mS von f im Intervall [0,5; 0,5] sowie die lokale Änderungsrate mT von f an der Stelle x = 0 . Berechnen Sie, um wie viel Prozent mS von mT abweicht.  d)
Der Graph von f, die x-Achse und die Gerade x = u mit u ∈ IR+ schließen für 0 ≤ x ≤ u ein Flächenstück mit dem Inhalt A(u) ein.
Zeigen Sie, dass
 e)
Die Ursprungsgerade h mit der Gleichung
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. Abbildung 2 zeigt den Graphen Gf von f.
gilt.
y-Koordinate des Hochpunkts: 
gilt. Geben Sie 
an und deuten Sie das Ergebnis geometrisch.
schließt mit Gf für x≥0 ein Flächenstück mit dem Inhalt B vollständig ein.
Berechnen Sie die x-Koordinaten der drei Schnittpunkte der Geraden h mit Gf und zeichnen Sie die Gerade in Abbildung 2 ein. Berechnen Sie B.
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2 a)Geben Sie in Abhängigkeit von c ohne weitere Rechnung die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von gc sowie das Verhalten von gc für x→+∞ an.  b)Die Anzahl der Nullstellen von gc hängt von c ab. Geben Sie jeweils einen möglichen Wert von c an, sodass gilt:
 c) Begründen Sie für c > 0 anhand einer geeigneten Skizze, dass
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gilt.
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a) Zeichnen Sie den Graphen von g1,4 in Abbildung 2 ein und ermitteln Sie graphisch mit angemessener Genauigkeit, in welchem Zeitraum die Geburtenziffer mindestens 2,1 beträgt.  b) Welche künftige Entwicklung der Bevölkerungszahl ist auf der Grundlage des Modells zu erwarten? Begründen Sie Ihre Antwort.  c) Im betrachteten Zeitraum gibt es ein Jahr, in dem die Geburtenziffer am stärksten abnimmt. Geben Sie mithilfe von Abbildung 2 einen Nähe- rungswert für dieses Jahr an. Beschreiben Sie, wie man auf der Grundla- ge des Modells rechnerisch nachweisen könnte, dass die Abnahme der Geburtenziffer von diesem Jahr an kontinuierlich schwächer wird.  |
beschreibt für x≥0 modellhaft die zeitliche Entwicklung der Geburtenziffer in einem europäischen Land. Dabei ist x die seit dem Jahr 1955 vergangene Zeit in Jahrzehnten (d. h. x = 1 entspricht dem Jahr 1965) und g1,4(x) die Geburtenziffer. Damit die Bevölkerungszahl in diesem Land langfristig näherungsweise konstant bleibt, ist dort eine Geburtenziffer von etwa 2,1 erforderlich.
