2004 IV: Unterschied zwischen den Versionen

Lösungen erstellt von: Mark-André Baumer, Jan Kapar

Auf dem Gebiet der Gemeinde Windstätt soll ein Windpark zur Stromerzeugung errichtet werden. Die Gegner des Projekts befürchten eine Beeinträchtigung des Fremdenverkehrs und sammeln Unterschriften für ein Bürgerbegehren. Das Windstätter Tagblatt veranstaltet eine Podiumsdiskussion zum Thema Windpark.

Aufgabe 1

An der Podiumsdiskussion nehmen neben dem Chefredakteur 5 Gegner und 4 Befürworter des Projekts teil. Die 10 Plätze auf dem Podium sind in einer Reihe nebeneinander angeordnet. Der Chefredakteur setzt sich auf den 5. Platz von links. Die beiden Grußßen haben jeweils einen Sprecher.

a) Wie viele verschiedene Sitzordnungen gibt es, bei denen die beiden Sprecher höchstens 2 Plätze vom Chefredakteur entfernt sitzen und sich die übrigen Teilnehmer beliebig auf die restlichen Plätze verteilen?

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b) Bei wie vielen Sitzordnungen, die die Bedingung aus Teilaufgabe 1 a erfüllen, nehmen die Gruppen geschlossen links bzw. rechts vom Chefredakteur Platz?

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c) Zu Beginn der Diskussion werden die Teilnehmer vom Chefredakteur um eine kurze Stellungnahme gebeten. Die Reihenfolge der Redner wird ausgelost. Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich unter den ersten 6 Rednern genau zwei Gegner des Projekts?

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Aufgabe 2

Im Verlauf der Podiumsdiskussion, zu der 178 Windstätter Bürger erschienen sind, behauptet der Sprecher der Windparkgegner, dass wenigstens 55% der mehr als 10 000 wahlberechtigten Gemeindemitglieder gegen das geplante Projekt sind.

a) Die Behauptung des Sprechers (Nullhypothese) soll auf dem Signifikantsniveau von 5% getestet werden. Bestimmen Sie mithilfe der Normalverteilung die zugehörige Entscheidungsregel bei einer Befragung von 178 Bürgern.

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b) Um eine Entscheidung im Sinne des Tests aus Teilaufgabe 2 a zu treffen, sollen die bei der Podiumsdiskussion anwesenden 178 wahlberechtigten Gemeindemitglieder befragt werden. Nehmen Sie zu diesem Vorschlag Stellung.

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Aufgabe 3

Um den Ausgang des beantragten Bürgerentscheids zu prognostizieren, führte das Windstätter Tagblatt eine Umfrage unter 1200 wahlberechtigten Bürgern durch. Dabei sprachen sich 504 gegen das Projekt aus, während die übrigen 696 für die Errichtung des Windparks waren.

a) Bestimmen Sie mithilfe der Ungleichung von Tschebyschow ein möglichst kleines Intervall, in dem der Anteil p der Windparkgegner unter allen Gemeindemitgliedern mit einer Wahrscheinlichkeit von wenigstens 75% liegt.

Verwenden Sie p(p-1)<= 1/4.

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b) Beim schließlich durchgeführten Bürgerentscheid lag die Wahlbeiteiligung bei 35%. Es stimmten 51% gegen das Windparkprojekt; ungültige Stimmen gab es nicht. Wenn man davon ausgeht, dass die Umfrage die Mehrheitsverhältnisse in Windstätt exakt wiedergibt, kann dieses Ergebnis durch einen unterschiedlichen Mobilisierungsgrad der Gegner und Befürworter erklärt werden. Welcher Prozentsatz der Gegner und welcher Prozentsatz der Befürworter ist demnach zur Abstimmung gegangen?

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Aufgabe 4

Ein großes Windparkunternehmen will sich durch Ausgabe von Aktien Kapital an der Börse verschaffen. Die Nachfrage ist erhablich; es werden wesentlich mehr Aktien geordert, als ausgegeben werden sollen. Daher erfolgt die Zuteilung im Losverfahren unter den Anlegern, die mindestens 200 Aktien geordert haben. Es werden nur Aktienpakete zu 50, 100 oder 200 Stück verlost. Die Zufallsgröße X, die die Anzahl der einem dieser Anleger zugeteilten Aktien beschreibt, hat die folgende Verteilung:

a) Berechnen Sie Erwartungswert und Standartabweichung von X.

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b) Es nehmen 100 Windstätter Bürger am Losverfahren teil. Nach dem zentralen Grenzwertsatz ist die voraussichtliche Gesamtzahl der ihnen dabei zugeilten Aktien näherungsweise normalverteilt. Berechnen Sie unter Annahme der Normalverteilung die Wahrscheinlichkeit, dass diese Gesamtzahl höchstens 10% vom Erwartungswert abweicht.

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