2003 II: Unterschied zwischen den Versionen
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Gegeben ist die Schar der in IR definierten Funktionen | Gegeben ist die Schar der in IR definierten Funktionen | ||
| − | <math>f_k(x)=\frac{1}{2}\cdot(k-x)\cdot \sqrt{e^{x}}</math> mit <math>k \in \mathbb R</math> . Der jeweilige Graph von <math>f_k\</math> | + | <math>f_k(x)=\frac{1}{2}\cdot(k-x)\cdot \sqrt{e^{x}}</math> mit <math>k \in \mathbb R</math> . Der jeweilige Graph von <math>f_k\,</math> wird mit |
<math>G_k\,</math> bezeichnet.<br /> | <math>G_k\,</math> bezeichnet.<br /> | ||
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}} | }} | ||
| − | b) Zeigen Sie, dass f (x) 2 | + | b) Zeigen Sie, dass f^{'}_k(x)= \frac{1}{2}f_{k-2}(x) |
| − | + | gilt, und ermitteln Sie hiermit | |
| − | + | Funktionsterme der Ableitungen <math>f^{''}_k\,</math> und <math>f^{'''}_k\,</math> sowie einer Stammfunktion | |
| − | Funktionsterme der Ableitungen | + | von <math>f_k\,</math> . |
| − | von | + | |
:{{Lösung versteckt| | :{{Lösung versteckt| | ||
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}} | }} | ||
| − | c) Zeigen Sie, dass | + | c) Zeigen Sie, dass <math>G_k\,</math> genau einen Hochpunkt und genau einen Wendepunkt |
besitzt, und bestimmen Sie die Koordinaten dieser Punkte. | besitzt, und bestimmen Sie die Koordinaten dieser Punkte. | ||
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| − | d) Zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse | + | d) Zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse <math>G_4\,</math> |
| − | und | + | und <math>G_6\,</math> in ein gemeinsames Koordinatensystem ein. |
:{{Lösung versteckt| | :{{Lösung versteckt| | ||
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| − | e) | + | e) <math>G_4\,</math> schließt im zweiten Quadranten mit den Koordinatenachsen ein |
sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück ein. Begründen Sie, | sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück ein. Begründen Sie, | ||
dass dieses einen endlichen Inhalt hat. | dass dieses einen endlichen Inhalt hat. | ||
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| − | f) Geben Sie an, welche Bedeutung die Funktion 2 | + | f) Geben Sie an, welche Bedeutung die Funktion <math>2 \cdot f_6\,</math> für die Funktion |
| − | + | <math>f_4\,</math> hat. Bestimmen Sie mit Hilfe von <math>G_6\,</math> aus Ihrer Zeichnung die positive | |
| − | Zahl z (auf eine Dezimale genau), für die | + | Zahl z (auf eine Dezimale genau), für die <math>\int_{0}^{z} f_4 (x)\,dx =0</math> |
| − | + | ist. | |
| − | + | ||
| − | + | ||
Tragen Sie dazu entsprechende Hilfslinien in die Zeichnung ein und | Tragen Sie dazu entsprechende Hilfslinien in die Zeichnung ein und | ||
erläutern Sie Ihr Vorgehen. | erläutern Sie Ihr Vorgehen. | ||
Version vom 9. April 2010, 12:48 Uhr
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Aufgabe 1 Gegeben ist die Schar der in IR definierten Funktionen
a) Geben Sie
b) Zeigen Sie, dass f^{'}_k(x)= \frac{1}{2}f_{k-2}(x) gilt, und ermitteln Sie hiermit Funktionsterme der Ableitungen
c) Zeigen Sie, dass
ist. Tragen Sie dazu entsprechende Hilfslinien in die Zeichnung ein und erläutern Sie Ihr Vorgehen. Überprüfen Sie Ihre graphisch gewonnene Näherungslösung, indem Sie z mit Hilfe des Taschenrechners auf eine Dezimale genau ermitteln.
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mit 
. Der jeweilige Graph von 
wird mit
bezeichnet.
sowie die Nullstelle von 
und für 
br />
und 
sowie einer Stammfunktion
von 
und 
in ein gemeinsames Koordinatensystem ein.
für die Funktion
hat. Bestimmen Sie mit Hilfe von 
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Aufgabe 2 Das abgebildete Zelt - geometrisch betrachtet ein gerades Prisma - hat einen rechteckigen Grundriss mit den Seitenlängen a 2 3 und b. Die Front besteht aus einem Rechteck mit den Seitenlängen a 2 3 und a sowie einem aufgesetzten gleichschenkligen Dreieck der Höhe a. a) Zeigen Sie, dass für den Rauminhalt V des Zelts und für den Flächeninhalt S der benötigten Zeltplane (ohne Boden und Laschen, das Zelt ist vollständig geschlossen) gilt: V a b , S a ab 2 2 9 2 2 9 4 = 9 = + .
b) Bestimmen Sie a und b so, dass V = 121,5 m3 ist und dass der Materialverbrauch an Zeltplane möglichst gering ist. Wie viele m2 Zeltplane werden in diesem Fall benötigt?
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