2003 II: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 9. April 2010, 12:16 Uhr


Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2006
Infinitesimalrechnung II


Download der Originalaufgaben: Abitur 2003 LK Mathematik Bayern - [[Media:|Lösung gesamt]]


Erarbeitet von Straßheimer Florian, Etzel Andre


Aufgabe 1

Gegeben ist die Schar der in IR definierten Funktionen fk : xa k − x e mit k ∈ IR . Der jeweilige Graph von fk wird mit Gk bezeichnet.

a) Geben Sie fk (0) sowie die Nullstelle von fk an. Untersuchen Sie das Verhalten von fk für x→−∞ und für x →+∞.


b) Zeigen Sie, dass f (x) 2 fk 2(x) 1 k′ =k′ = − gilt, und ermitteln Sie hiermit Funktionsterme der Ableitungen fk′′ und fk′′′ sowie einer Stammfunktion von fk .


c) Zeigen Sie, dass Gk genau einen Hochpunkt und genau einen Wendepunkt besitzt, und bestimmen Sie die Koordinaten dieser Punkte.



d) Zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse G4 und G6 in ein gemeinsames Koordinatensystem ein.



e) G4 schließt im zweiten Quadranten mit den Koordinatenachsen ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück ein. Begründen Sie, dass dieses einen endlichen Inhalt hat.



f) Geben Sie an, welche Bedeutung die Funktion 2 ⋅ f6 für die Funktion f4 hat. Bestimmen Sie mit Hilfe von G6 aus Ihrer Zeichnung die positive Zahl z (auf eine Dezimale genau), für die f (x)dx 0 z 0 ∫ 4 = ist. Tragen Sie dazu entsprechende Hilfslinien in die Zeichnung ein und erläutern Sie Ihr Vorgehen. Überprüfen Sie Ihre graphisch gewonnene Näherungslösung, indem Sie z mit Hilfe des Taschenrechners auf eine Dezimale genau ermitteln.



Aufgabe 2

Das abgebildete Zelt - geometrisch betrachtet ein gerades Prisma - hat einen rechteckigen Grundriss mit den Seitenlängen a 2 3 und b. Die Front besteht aus einem Rechteck mit den Seitenlängen a 2 3 und a sowie einem aufgesetzten gleichschenkligen Dreieck der Höhe a.

a) Zeigen Sie, dass für den Rauminhalt V des Zelts und für den Flächeninhalt S der benötigten Zeltplane (ohne Boden und Laschen, das Zelt ist vollständig geschlossen) gilt: V a b , S a ab 2 2 9 2 2 9 4 = 9 = + .


b) Bestimmen Sie a und b so, dass V = 121,5 m3 ist und dass der Materialverbrauch an Zeltplane möglichst gering ist. Wie viele m2 Zeltplane werden in diesem Fall benötigt?




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