2004 VI: Unterschied zwischen den Versionen

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In einem kartesischen Koordinatensystem des '''R'''<sup>3</sup> sind die Punkte <math>O \left( 0 / 0 / 0 \right)</math>, <math>A \left( 10 / 0 / 0 \right)</math>, <math>B \left( 0 / 4 / 0 \right)</math>, <math>S \left( 0 / 0 / 6 \right)</math> sowie die Ebenenschar E<sub>t</sub>: 3x<sub>2</sub> + tx<sub>3</sub> - 3t = 0 mit t <math>\in</math> '''R''' gegeben. Die Punkte A, B und S legen die Ebene F fest.
 
In einem kartesischen Koordinatensystem des '''R'''<sup>3</sup> sind die Punkte <math>O \left( 0 / 0 / 0 \right)</math>, <math>A \left( 10 / 0 / 0 \right)</math>, <math>B \left( 0 / 4 / 0 \right)</math>, <math>S \left( 0 / 0 / 6 \right)</math> sowie die Ebenenschar E<sub>t</sub>: 3x<sub>2</sub> + tx<sub>3</sub> - 3t = 0 mit t <math>\in</math> '''R''' gegeben. Die Punkte A, B und S legen die Ebene F fest.
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Die Punkte A, B, O und S bilden die Ecken der Pyramide ABOS.
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:'''b)''' Berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABOS. <div align="right">''3 BE''</div>
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(Hinweis: Zerlegen Sie einen der beiden Teilkörper in ein dreiseitiges Prisma und eine dreiseitige Pyramide.)
 
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:'''a)''' Zeigen Sie, dass <math>M \left( 1,2 / 1,2 / 1,2 \right)</math> der Mittelpunkt der Inkugel K der Pyramide ABOS ist. <div align="right">''5 BE''</div>
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:'''b)''' Die Ebenenschar E<sub>t</sub> enthält neben der x<sub>1</sub>x<sub>3</sub> - Ebene eine weitere Tangentialebene von K. Berechnen Sie den zugehörigen Wert von t. <div align="right">''7 BE''</div>
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Version vom 1. April 2010, 22:15 Uhr


Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2004
Analytische Geometrie VI


Download der Originalaufgaben: Abitur 2004 LK Mathematik Bayern - Lösung gesamt


Erarbeitet von Luka Hornung, Jan-Peter Neutert


In einem kartesischen Koordinatensystem des R3 sind die Punkte O \left( 0 / 0 / 0 \right), A \left( 10 / 0 / 0 \right), B \left( 0 / 4 / 0 \right), S \left( 0 / 0 / 6 \right) sowie die Ebenenschar Et: 3x2 + tx3 - 3t = 0 mit t \in R gegeben. Die Punkte A, B und S legen die Ebene F fest.


Aufgabe 1
a) Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene F in Normalenform.
3 BE
[mögliches Ergebnis: 6x1 + 15x2 + 10x3 - 60 = 0]

Abitur 2004 VI Aufg 1a.jpg


b) Berechnen Sie, unter welchem Winkel die Ebene F die x1x2 - Ebene schneidet.
3 BE

Abitur 2004 VI Aufg 1b.jpg


c) Zeigen Sie, dass die Ebene E2 parallel zur Geraden BS ist.
3 BE

Abitur 2004 VI Aufg 1c.jpg


d) Zeigen Sie, dass die zu AO parallele Mittelparallele des Dreiecks AOS identisch ist mit der Geraden p, die alle Ebenen der Schar Et gemeinsam haben.
5 BE

Abitur 2004 VI Aufg 1d.jpg


Aufgabe 2

Die Punkte A, B, O und S bilden die Ecken der Pyramide ABOS.

a) Legen Sie ein Koordinatensystem an. Zeichnen Sie die Pyramide ABOS, die Gerade p und die Schnittfläche der Ebene E2 mit der Pyramide ein.
5 BE

Abitur 2004 VI Aufg 2a.jpg


b) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABOS.
3 BE

Abitur 2004 VI Aufg 2b.jpg


c) Zeigen Sie, dass die Ebene E2 die Pyramide ABOS in zwei Teilkörper mit gleichem Volumen zerlegt.
6 BE

(Hinweis: Zerlegen Sie einen der beiden Teilkörper in ein dreiseitiges Prisma und eine dreiseitige Pyramide.)

Abitur 2004 VI Aufg 2c.jpg


Aufgabe 3
a) Zeigen Sie, dass M \left( 1,2 / 1,2 / 1,2 \right) der Mittelpunkt der Inkugel K der Pyramide ABOS ist.
5 BE

Abitur 2004 VI Aufg 3a.jpg


b) Die Ebenenschar Et enthält neben der x1x3 - Ebene eine weitere Tangentialebene von K. Berechnen Sie den zugehörigen Wert von t.
7 BE

Abitur 2004 VI Aufg 3a.jpg

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