2009 II: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 1. April 2010, 12:01 Uhr

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2009 Infinitesimalrechnung II

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Lösungen erstellt von: Melissa Gehrig

Aufgabe 1

Gegeben ist die Schar der Funktionen $f_a : x \mapsto a^3 x^2 e^{-ax}$ mit a ∈ IR⁺ und der Definitionsmenge IR . Der Graph von f_a wird mit G_a bezeichnet. Die Abbildung zeigt G_a für a = 0,04.

a) Untersuchen Sie am Funktionsterm das Verhalten von f_a für x → −∞ und x → +∞. Begründen Sie, dass G_a nie unterhalb der x-Achse verläuft.

3 BE

b) Bestimmen Sie Art und Lage der Extrempunkte von G_a. [Zur Kontrolle: Tiefpunkt bei x = 0 und Hochpunkt bei x = $\textstyle \frac{2}{a}$ ]

7 BE

Aufgabe 2

Nun werden die in IR definierten Integralfunktionen $F_a : x \mapsto \int\limits_{0}^{x} f_a(t)dt$ betrachtet.

a) Begründen Sie ohne Ausführung der Integration, dass der Graph von F_a für alle a ∈ IR⁺ durch den Koordinatenursprung verläuft und dort einen Terrassenpunkt besitzt.

4 BE

b) Berechnen Sie durch partielle Integration einen integralfreien Term für F_a . Geben Sie den Grenzwert von F_a für x → +∞ an und interpretieren Sie das Ergebnis am Graphen G_a. [Teilergebnis: F_a = 2 - e^-ax · (a²x² + 2ax + 2)]

10 BE

c) Nun sei a = 0,04 . Der Graph der Funktion F_0,04 besitzt für x > 0 einen Wendepunkt W. Bestimmen Sie die Koordinaten von W. Skizzieren Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse den Graphen von F_0,04 im Bereich − 30 ≤ x ≤ 200 in ein Koordinatensystem (x-Achse: 50 LE ≙ 2,5 cm, y-Achse: 1 LE ≙ 2,5 cm). Verwenden Sie dazu ohne Nachweis: F_0,04(−30) ≈ −1,45 und F_0,04(200) ≈1,97 .

6 BE

Aufgabe 3

Die Gruppe „Die toten Rosen“ gibt ein Konzert. Es beginnt um 20 Uhr, der Einlass wird ab 18 Uhr gewährt. Der Besucherzustrom soll durch eine Funktion g der Form g(x) = k ⋅ f_a (x) mit geeignetem a und geeignetem k > 0 modelliert werden. Dabei bedeutet x die seit 18 Uhr vergangene Zeit in Minuten. g(x) gibt die momentane Zunahme der Besucherzahl in Besucher pro Minute an.

a) Bestimmen Sie die Parameter a und k, wenn das Maximum der Funktion g um 18.50 Uhr auftritt und 26 Besucher pro Minute beträgt.

5 BE

b) Berechnen Sie für a = 0,04 und k = 1200 unter Verwendung des in Teilaufgabe 2b ermittelten Terms F_a (x) das Integral $\int\limits_{0}^{120} g(x)dx$ und interpretieren Sie das Ergebnis im Anwendungszusammenhang.

5 BE

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