2007 VI: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 1. März 2010, 09:18 Uhr

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2007 Analytische Geometrie VI

Lösungen erstellt von: Johanna Buchner, Isabell Geist und Ann Christin Werner
Angabe

In einem kartesischen Koordinatensystem des IR³ ist die Ebenenschar E_t : $\vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ t \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} + \tau\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ mit λ, τ є IR und t є IR gegeben.

Aufgabe 1

a) Bestimmen Sie eine Gleichung von E_t in Normalenform. Begründen Sie, dass alle Ebenen der Schar zueinander parallel sind.

[mögliches Teilergebnis: E_t : 2x₁ + x₂ - 2x₃ - t = 0]

b) Berechnen Sie den Winkel φ, unter dem jede Ebene der Schar E_t die x₁x₂-Ebene schneidet, auf eine Dezimale gerundet.

c) Die Ebene L enthält die x₂-Achse und ist Lotebene zur Ebene E_t. Ermitteln Sie eine Gleichung von L in Normalenform und geben Sie eine Gleichung der Schnittgeraden s_t von L und E_t in Parameterform an.

[mögliches Teilergebnis: L: x₁ + x₃ = 0]

Aufgabe 2

Die Ebene E_t schneidet die x₁-Achse im Punkt A_t, die x₂-Achse im Punkt B_t und die x₃-Achse im Punkt C_t. Diese Punkte und der Ursprung O sind für t ≠ 0 die Ecken einer Pyramide II_t.

a) Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte A_t, B_t und C_t und zeichnen Sie in einem Koordinatensystem für t = -8 die Pyramide II_-8 ein.

[Teilergebnis: A_t (0,5t|0|0); B_t (0|t|0); C_t (0|0|-0,5t)]

b) Zeigen Sie, dass die Pyramide II_t den Oberflächeninhalt t² besitzt, und ermitteln Sie das Volumen V_t von II_t in Abhängigkeit von t.

c) Die Ebene F : 2x₂ = t liegt parallel zu einer Seitenfläche und zerlegt II_t in zwei Teilkörper. Berechnen Sie das Verhältnis der Volumina.

Hinweis

Es gibt eine weitere Lösung, die den Strahlensatz verwendet (Verhältnis der beiden Höhen und der anderen Kanten ist 1:2)

d) Zeigen Sie, dass die Kugel K mit dem Mittelpunkt N_t ( $\frac{t}{8}$ | $\frac{t}{8}$ | $\frac{-t}{8}$ ) und dem Radius ρ_t = $\frac{|t|}{8}$ die Inkugel der Pyramide II_t ist, also alle Begrenzungsflächen von II_t von innen berührt.

e) Die Ecken der Pyramide II_t liegen auf einer Kugel (Umkugel) mit dem Mittelpunkt M (m₁|m₂|m₃) und dem Radius r.

Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass gilt: m₂ = $\frac{t}{2}$ .

Geben Sie m₁ sowie m₃ an und berechnen Sie r.

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