2007 VI: Unterschied zwischen den Versionen
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[Teilergebnis: A<sub>t</sub> (0,5t|0|0); B<sub>t</sub> (0|t|0); C<sub>t</sub> (0|0|-0,5t)] | [Teilergebnis: A<sub>t</sub> (0,5t|0|0); B<sub>t</sub> (0|t|0); C<sub>t</sub> (0|0|-0,5t)] | ||
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+ | b) Zeigen Sie, dass die Pyramide II<sub>t</sub> den Oberflächeninhalt t<sup>2</sup> besitzt, und ermitteln Sie das Volumen V<sub>t</sub> von II<sub>t</sub> in Abhängigkeit von t. | ||
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+ | c) Die Ebene F : 2x<sub>2</sub> = t liegt parallel zu einer Seitenfläche und zerlegt II<sub>t</sub> in zwei Teilkörper. Berechnen Sie das Verhältnis der Volumina. | ||
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+ | d) Zeigen Sie, dass die Kugel K mit dem Mittelpunkt N<sub>t</sub> (<math>\frac{t}{8}</math> |<math>\frac{t}{8}</math> |<math>\frac{-t}{8}</math> ) und dem Radius ρ<sub>t</sub> = <math>\frac{|t|}{8}</math> die Inkugel der Pyramide II<sub>t</sub> ist, also alle Begrenzungsflächen von II<sub>t</sub> von innen berührt. | ||
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+ | e) Die Ecken der Pyramide II<sub>t</sub> liegen auf einer Kugel (Umkugel) mit dem Mittelpunkt M (m<sub>1</sub>|m<sub>2</sub>|m<sub>3</sub>) und dem Radius r. | ||
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+ | Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass gilt: m<sub>2</sub> = <math>\frac{t}{2}</math>. | ||
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+ | Geben Sie m<sub>1</sub> sowie m<sub>3</sub> an und berechnen Sie r. | ||
</td></tr></table></center> | </td></tr></table></center> |
Version vom 21. Februar 2010, 16:19 Uhr
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a) Bestimmen Sie eine Gleichung von Et in Normalenform. Begründen Sie, dass alle Ebenen der Schar zueinander parallel sind. [mögliches Teilergebnis: Et : 2x1 + x2 - 2x3 - t = 0]
[mögliches Teilergebnis: L: x1 + x3 = 0] |
Die Ebene Et schneidet die x1-Achse im Punkt At, die x2-Achse im Punkt Bt und die x3-Achse im Punkt Ct. Diese Punkte und der Ursprung O sind für t ≠ 0 die Ecken einer Pyramide IIt.
[Teilergebnis: At (0,5t|0|0); Bt (0|t|0); Ct (0|0|-0,5t)]
Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass gilt: m2 = Geben Sie m1 sowie m3 an und berechnen Sie r. |