2008 I: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 11. Februar 2010, 12:28 Uhr

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2008 Infinitesimalrechnung I

Download der Originalaufgaben: Abitur 2008 LK Mathematik Bayern - Lösung gesamt
Erarbeitet von Sebastian Waldhäuser & Daniel Greb

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion $f:x\rightarrow \frac{ln(x^2)}{x}$ D_f = IR \ {0}. Der Graph von f wird mit G_f bezeichnet.

a) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von G_f. Bestimmen Sie die Nullstellen von f und das Verhalten von f an den Rändern des Definitionsbereichs. (6 BE)

b) Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte von G_f mit waagrechter Tangente und skizzieren Sie G_f unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in ein Koordinatensystem. (7 BE)

Skizze

c) Zeigen Sie, dass für alle u >1 gilt: $\int_{\frac{1}{u} }^{u} f(x)\,dx=0$ . Interpretieren Sie das Ergebnis der Integration am Graphen von f. (7 BE)

Bemerkung anzeigen

Skizze

Aufgabe 2

Betrachtet wird die Funktion K mit dem Term $K(v)=\frac{v}{\frac{v^2}{2a}+tv+s }$ , v ∈ IR⁺, und den positiven Parametern a, t und s. K beschreibt in einem idealisierten Modell die sogenannte Kapazität einspuriger Straßen, das ist die Anzahl der Fahrzeuge, die bei genauer Einhaltung des Sicherheitsabstandes pro Zeiteinheit eine bestimmte Stelle passieren können. In diesem Modell wird vereinfachend angenommen, dass alle Fahrzeuge mit der gleichen Geschwindigkeit v fahren und außerdem die Parameter a (Bremsverzögerung), t (Reaktionszeit des Fahrers) und s (Fahrzeuglänge) für alle Fahrzeuge der Kolonne gleich sind.

a)Bestimmen Sie die Grenzwerte von $K(v)$ für $v\rightarrow 0$ und $v\rightarrow \infty$ . (3 BE)

b) Zeigen Sie, dass $K(v)$ für $v=v_{max}=\sqrt{2as}$ maxmal wird. Berechnen sie $v_{max}$ in $\frac{km}{h}$ für $a=4,0\frac{m}{s^2}$ (Regennasse Fahrbahn)und $s=4,5m$ . (8 BE)

c)Begründen Sie am Term $K(v)$ , dass die Kapazität bei zunehmender Fahrzeuglänge s abnimmt, wenn v, a und t konstant bleiben. Begründen Sie ebenfalls am Term, dass die Kapazität zunimmt, wenn die Bremsverzögerung a zunimmt und v, t und s konstant bleiben. Erläutern Sie letztere Aussage im Anwendungszusammenhang. (4 BE)

d) Die drei Diagramme (I), (II) und (III) zeigen den Verlauf von Schargraphen der Funktion K. In jedem dieser Diagramme variiert genau einer der Parameter a, t und s, während die anderen beiden Parameter konstant bleiben. Geben Sie für jedes der drei Diagramme an, welcher der Parameter variiert. Begründen Sie Ihre Antwort, z. B. mit Hilfe der Ergebnisse der Teilaufgaben 2b und 2c. (5 BE)
Diagramme:

I                                 II                                  III

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 }}
-c) Zeigen Sie, dass für alle u >1 gilt: <math>\int_{\frac{1}{u} }^{u} f(x)\,dx=0</math> . Interpretieren Sie das Ergebnis der Integration am Graphen von f. (7 BE)
+c) Zeigen Sie, dass für alle u >1 gilt: <math>\int_{\frac{1}{u} }^{u} f(x)\,dx=0</math> . Interpretieren Sie das Ergebnis der Integration am Graphen von f. (7 BE)<br />
+<popup name="Bemerkung">
+* Die folgende Überlegung gilt nur für x>0!
+</popup><br />
 :{{Lösung versteckt|

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