2009 VI: Unterschied zwischen den Versionen

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VI.

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des IR³ die

Ebene F, die parallel zur x₃-Achse ist und die Punkte A(-2/1,5/6) und

B(0/3/0) enthält, sowie die Ebenenschar E_a: 2x₁+2x₂+x₃-a=0 mit a ∈ IR.

a) Berechnen Sie eine Gleichung der Ebene F in Normalenform.

[Zur Kontrolle: F: 3x₁-4x₂+12=0]

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b) Die Kugel K mit dem Mittelpunkt M(3/-1/0) berührt die Ebene F.

Berechnen Sie die Koordinaten des Berührpunkts und den Radius r der Kugel.

[Teilergebnis: r=5]

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c) Die Punktspiegelung der Kugel K am Punkt A ergibt die Kugel K´.

Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M´ der Kugel K´ und

geben Sie deren Radius r´ an.

[Teilergebnis: M´(-7/4/12)]

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d) Zeigen Sie, dass die Ebenen E₁₃ und E_-3 symmetrisch bezüglich des

Punktes A liegen, und berechnen Sie den Abstand dieser beiden Ebenen.

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e) Die Ebene E₁₃ schneidet die Kugel K in einem Kreis. Berechnen Sie den

Mittelpunkt N und den Radius p dieses Kreises. Warum hat der Schnitt-

kreis von E_-3 mit der Kugel K´ ebenfalls den Radius p?

[Teilergebnis: N(5/1/1) ]

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f) Die Kreise aus Teilaufgabe e bilden die Grund- und die Deckfläche eines

schiefen Zylinders. Berechnen Sie das Volumen dieses schiefen

Zylinders und den Winkel , um den die Zylinderachse gegen die

Grundfläche geneigt ist.

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g) In welcher Ebene der Schar E_a liegt der Punkt M´?

Für welche Werte des Scharparameters a schneiden sich die Kugel K´

und die Ebene E_a in einem Kreis?

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