2009 VI: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 1. Februar 2010, 16:56 Uhr

VI.

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des R³ die Ebene F, die parallel zur x₃-Achse ist und die Punkte A(-2/1,5/6) und B(0/3/0) enthält, sowie die Ebenenschar E_a: 2x₁+2x₂+x₃-a=0 mit a Element R .

a) Berechnen Sie eine Gleichung der Ebene F in Normalenform. [Zur Kontrolle: F: 3x₁-4x₂+12=0 ] [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

b) Die Kugel K mit dem Mittelpunkt M(3/-1/0) berührt die Ebene F. Berechnen Sie die Koordinaten des Berührpunkts und den Radius r der Kugel. [Teilergebnis: r=5 ] [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

c) Die Punktspiegelung der Kugel K am Punkt A ergibt die Kugel K´. Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M´ der Kugel K´ und geben Sie deren Radius r´ an. [Teilergebnis: M´(-7/4/12)] [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

d) Zeigen Sie, dass die Ebenen E₁₃ und E_-3 symmetrisch bezüglich des Punktes A liegen, und berechnen Sie den Abstand dieser beiden Ebenen. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

e) Die Ebene E₁₃ schneidet die Kugel K in einem Kreis. Berechnen Sie den Mittelpunkt N und den Radius p dieses Kreises. Warum hat der Schnittkreis von E_-3 mit der Kugel K´ ebenfalls den Radius p? [Teilergebnis: N(5/1/1) ] [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

f) Die Kreise aus Teilaufgabe e bilden die Grund- und die Deckfläche eines schiefen Zylinders. Berechnen Sie das Volumen dieses schiefen Zylinders und den Winkel , um den die Zylinderachse gegen die Grundfläche ge-neigt ist. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

g) In welcher Ebene der Schar E_a liegt der Punkt M´? Für welche Werte des Scharparameters a schneiden sich die Kugel K´ und die Ebene E_a in einem Kreis? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]