Strecken und Spiegeln von Funktionsgraphen: Unterschied zwischen den Versionen
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Im untenstehenden Koordinatensystem ist der Graph der Funktion f(x)= 2x<sup>4</sup>-3x<sup>2</sup>+0,5 dargestellt. Wird diese Funktion nun mit einer rationalen Zahl k multipliziert, entsteht ein veränderter Graph g(x). Versuche, durch Verschieben des Reglers das Verhalten des Funktionsgraphen zu erklären. | Im untenstehenden Koordinatensystem ist der Graph der Funktion f(x)= 2x<sup>4</sup>-3x<sup>2</sup>+0,5 dargestellt. Wird diese Funktion nun mit einer rationalen Zahl k multipliziert, entsteht ein veränderter Graph g(x). Versuche, durch Verschieben des Reglers das Verhalten des Funktionsgraphen zu erklären. | ||
Version vom 18. Januar 2010, 18:43 Uhr
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Strecken und Spiegeln von Funktionsgraphen
Streckung in y-Richtung
Zur Erinnerung: Bei quadratischen Funktionen haben wir bereits festgestellt, dass der Funktionsgraph durch einen Koeffizienten a weiter oder enger als die Normalparabel f(x)=x2 sein kann. Diese Erscheinung wird nun allgemein für alle Funktionstypen untersucht.
Problemstellung:
Im untenstehenden Koordinatensystem ist der Graph der Funktion f(x)= 2x4-3x2+0,5 dargestellt. Wird diese Funktion nun mit einer rationalen Zahl k multipliziert, entsteht ein veränderter Graph g(x). Versuche, durch Verschieben des Reglers das Verhalten des Funktionsgraphen zu erklären.
Erklärung: Da der Graph von g(x) aus einer Multiplikation von einem Koeffizienten k und dem Funktionswert von f(x) entsteht, gilt für den Graphen g die Funktionsgleichung g(x)=k×f(x). Dadurch nimmt g bei einem Koeffizienten k>1 einen größeren Funktionswert an als der Graph von f. Der Graph ist also in y-Richtung gestreckt. Dasselbe gilt auch für 0<k<1, nur das der Graph g hier kleinere Funktionswerte annimmt. Die Nullstellen bleiben dabei unverändert!
- k=3
- f(1)=-0,5
- g(x)=f(x)
k
- g(1)=f(1)3
- g(1)=-0,53
- g(1)=-1,5
- g(x)=f(x)
Streckung in x-Richtung
Problemstellung: Im nebenstehenden Koordinatensystem ist der Graph der Funktion f(x)=cosx eingezeichnet. Durch eine Streckung in x-Richtung um den Faktor 3 entsteht der Graph g. Wie lautet der Funktionsterm von g?
Erklärung: Eine Streckung um den Faktor 3 in x-Richtung bedeutet, dass der Graph von g den Funktionswert, den der Graph von f an der Stelle x annimmt, erst an der Stelle 3x annimmt.
Es entsteht also der Zusammenhang f(x)=g(3x) oder g(x)=f(
x)=cosx
(Allgemein: f(x)=g(kx) oder g(x)=f(
x))
- k=2
- f(
)=-1
- g(x)=f(x)
- g()=f(
)
- g()=0
- g(x)=f(
Ist der Streckungsfaktor 0<k<1, z.B. k=0,5, dann entspricht der Funktionswert von f an der Stelle x dem Funktionswert von g an der Stelle 0,5.
Der Zusammenhang lautet also f(x)=g(0,5x) oder g(x)=f(2x). Das Verhalten des Graphen kannst du beobachten, wenn du im oben abgebildeten Koordinatensystem den Regler k verschiebst.
Der Funktionswert an der Stelle x=0 bleibt immer gleich.
Allgemein: g(x)=f(kx) mit dem Streckungsfaktor
Besteht zwischen zwei Funktionen der Zusammenhang g(x)=k×f(x) mit k>0, dann ist der Graph von g gegenüber dem von f in y-Richtung um den Faktor k gestreckt.
Besteht zwischen zwei Funktionen der Zusammenhang g(x)=f(kx) mit k>0, dann ist der Graph von g gegenüber dem von f um den Faktor in x-Richtung gestreckt.Spiegelung an der x-Achse
Bisher haben wir das Verhalten der Funktionsgraphen nur für positive Werte von k untersucht. Nun soll k den Wert -1 annehmen. Aus den oben erstellten Formeln ergeben sich nun die Fälle
g(x)= -1k×f(x) und g(x)=f(-1kx), also g(x)= -f(x) und g(x)=f(-x).
Zunächst betrachten wir den Fall g(x)= -f(x).
Im nebenstehenden Koordinatensystem ist der Graph von f mit dem Funktionsterm f(x)=x4-x2 rot dargestellt. Um die Funktionswerte des grün dargestellten Graphen von g zu erhalten, werden die Funktionswerte von f(x) mit k=-1 multipliziert. Wie in der Abbildung zu erkennen ist, handelt es sich beim Graphen von g um eine Spiegelung an der x-Achse.
Spiegelung an der y-Achse
Nun betrachten wir den Fall g(x)=f(-x) am Beispiel f(x)=2x.
Im nebenstehenden Koordinatensystem ist der Graph von f rot dargestellt. Für den Graphen von g (grün dargestellt) gilt der Funktionsterm g(x)=2-x. Betrachtet man die beiden Graphen zusammen, so fällt auf, dass der Graph von g aus einer Spiegelung von f an der y-Achse entsteht.
Der Graph von g mit g(x)= -f(x) geht aus dem Graphen von f durch eine Spiegelung an der x-Achse hervor.
Der Graph von g mit g(x)=f(-x) geht aus dem Graphen von f durch eine Spiegelung an der y-Achse hervor.
Beispielaufgaben
Aufgabe 1:
Zeichne in ein gemeinsames Koordinatensystem die Funktion f(x)=x3+2, sowie die Funktionen g(x)=2f(x) und h(x)=f(2x).
Aufgabe 2:
Gegeben ist die Funktion f(x)=2x3-x2+2x+1. Erstelle jeweils die neuen Funktionen nach den folgenden Anweisungen. Verwende zum Weiterrechnen jeweils den vorangegangenen Funktionsterm.
- a) Streckung um den Faktor 3 in y-Richtung
- b) Spiegelung an der x-Achse
- c) Streckung um den Faktor 0,5 in x-Richtung
- d) Streckung um den Faktor 0,25 in y-Richtung
- e) Spiegelung an der y-Achse
=2
Aufgabe 3:
Finde die passenden Paare.
Spiegelung an der y-Achse Spiegelung an der x-Achse 
Streckung in y-Richtung 
Streckung in x-Richtung 
