Lösung: lokale Extrempunkte: Unterschied zwischen den Versionen
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<math>( 1 + a - x ) = 0 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; |- 1 ; - a</math> <br /> | <math>( 1 + a - x ) = 0 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; |- 1 ; - a</math> <br /> | ||
<math>-x = -1 + a \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ |\cdot (-1)</math><br /> | <math>-x = -1 + a \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ |\cdot (-1)</math><br /> | ||
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<math> y = f_a ( 1 + a ) = ( 1 + a - a )\cdot e^{a + 2 - ( 1 + a )}</math> <br /> | <math> y = f_a ( 1 + a ) = ( 1 + a - a )\cdot e^{a + 2 - ( 1 + a )}</math> <br /> | ||
| − | + | <math> = 1\cdot e^{a + 2 - 1 - a }</math> <br /> | |
| − | + | <math> = 1\cdot e^{1} </math><br /> | |
| − | + | <math> = e \;</math><br /> | |
| − | Möglicher Extrempunkt ( 1 + a / e ) | + | Möglicher Extrempunkt: <math>( 1 + a / e )\;</math> |
Version vom 15. Januar 2010, 22:27 Uhr
lokal Extrempunkte
Damit man Extrempunkte einer Funktion finden kann braucht man ihre erste Ableitung
Um die erste Ableitung zu bekommen muss man hier die Produktregel verwenden [Hilfe zur Produktregel]
Der/Die Extrempunkt/e können an der Stelle liegen, an der die erste Ableitung der Funktion gliech Null ist. Die erste Ableitung einer Funktion zeigt das Steigungsverhalten dieser an. Wenn dieses gleich Null ist, besitzt die Funktion eine waagrechte Tangent an dieser Stelle.
Dass heißt es könnte ein Extrempunkt(Maximum^Hochpunkt und/oder Minimum ^ Tiefpunkt)auftreten.Dies muss jedoch erst mit der zweiten Ableitung oder mit dem Monotonieverhalten der Funktion überprüft werden, da auch ein Terassenpunktauftreten könnte.
Möglicher Extrempunkt:
Überprüfung des Extrempunkts
1. Möglichkeit
H-Methode
Vorzeichenwechsel (VZW) des Monotonieverhaltens der Funktion
An der Stelle fa' ( 1 + a + h ) fällt der Graph
fa' ( 1 + a - h ) = ( 1 + a -( 1 + a - h ) ea + 2 - ( 1 + a - h)
= ( 1 + a - 1 - a + h ) ea + 2 - 1 - a + h
= e1 + h ( +h )
= +h e1 + h
Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): \lim_{h\to\0}
fa' ( 1 + a - h ) > 0
--> An der Stelle fa' ( 1 + a - h ) steigt der Graph
--> VZW bei x = 1 + a
--> Extrempunkt bei ( 1 + a / e ) Maximum
zur Verdeutlichung
| x<1+a | x=1+a | x>1+a | |||
|---|---|---|---|---|---|
| ea + 2 - x | + | + | |||
| ( 1 + a - x ) | + | - | |||
| fa' ( x ) | + | - |
--> Maximum ( 1 + a / e )
2. Möglichkeit
Überprüfung durch die zweite Ableitung [Hilfe zur Produktregel]
y = fa (x) = ( x - a ) ea + 2 - x
fa' (x) = ea + 2 - x ( 1 + a - x )
fa (x) = ea + 2 - x ( 1 + a - x ) ( -1 ) + ( -1 ) ea + 2 - x
= -ea + 2 - x ( 1 + a - x + 1 )
= ea + 2 - x ( x - a - 2 )
Wenn die zweite Ableitung an dem möglichen Extrempunkt größer als Null ist hat man ein Minimum, wenn sie kleiner Null ist ein Maximum, bei gleich Null könnte ein Terrassenpunkt auftreten.
fa ( 1 + a ) = ea + 2 - ( 1 + a ) ( ( 1 + a ) - a - 2 )
= ea + 2 - 1 - a ( -1 )
= e^1 ( -1 ) = <0
--> Max ( 1 + a / e )
