LK Mathematik Abitur NRW 2007: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 4. Januar 2010, 16:10 Uhr

Inhaltsverzeichnis

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Was ist eine Funktion ?

So wie im täglichen Leben Statistiken oder Tabellen erstellt werden, können auch in der Mathematik sogenannte Funktionen erstellt werden. Diese sind, ähnlich wie bei einer Tabelle, abhängig von zwei meist unterschiedlichen Größen. Bei den mathematischen Funktionen ist es so, dass einer bestimmten Menge auf der x – Achse, eine bestimmte Menge auf der y - Achse zugeordnet wird. Bei rein mathematischen Überlegungen handelt es sich bei den beiden Mengen um den sogenannten x – Wert beziehungsweise y – Wert. Bei Funktionen mit Einheiten, wie zum Beispiel in der Physik der „Waagrechte Wurf“, wird dem x – Wert die Einheit Länge in Meter gegeben und dem y – Wert Höhe in Meter zugeteilt. Jedoch ist zu beachten, dass bei Funktionen jedem x - Wert nur ein y – Wert zugeordnet werden kann. Es ist also nicht möglich, dass eine Funktion mit dem x – Wert x1 zwei y – Werte y1 und y2 hat. Der Unterschied zwischen einer Funktion und einer Wertetabelle ist lediglich, dass die Funktion eine graphische Abbildung der Wertetabelle darstellt.

Angabe

Mit Hilfe der folgenden Funktion kann man beispielsweise die Wasserstände eines Flusses vorherzusagen. Diese Beschreibung der Durchflussgeschwindigkeit sei durch die Funktionenschar fa mit f(t) = \frac{1}{4} t^3 - a t^2 + a^2 t, a > 0

Die Funktion gibt dabei die Durchflussgeschwindigkeit in 106\frac{m^3}{Monat} und t die verstrichene Zeit in Monaten seit Beginn der Vorhersage

(t = 0) an. Die Funktion berücksichtigt, dass es sich um einen Fluss handelt, der zeitweise austrocknet.


Aufgabe: Nullstellen

Es soll bestimmt werden, abhängig vom Parameter a, zu welchen Monaten kein Wasser durch den Fluss fließt.

Was fällt auf, wenn man mit Hilfe des Schiebereglers den Parameter a verändert?
[Lösung anzeigen]

Aufgabe: Extremwerte

Es soll, in Abhängigkeit von a, ermittelt werden, zu welchen Zeitpunkten t ein relatives Maximum bzw. Minimum vorliegt. Diese Funktionswerte sollen berechnet werden.

Um die Extremwerte einer Funktion zu errechnen, wird die erste Ableitung benötigt.

Die allgemeine Ableitungsregel ist: f (x) = x^n \Rightarrow f'(x) = n * xn-1

Bestimme nun die erste Ableitung der Funktion f(t) = \frac{1}{4} t^3 - a t^2 + a^2 t
[Lösung anzeigen]


Errechne nun die Koordinaten der Extremwerte.
[Lösung anzeigen]

Am Besten sind die Extremwerte für a = 3 zu sehen. Da sich hier die Koordinaten E_1 ( 6 / 0 ) und E_2 ( 2 / 8 ) ergeben.

Extremwerte für a=3.jpg


Man hat nun die Extremwerte in Abhängigkeit von a ermittelt. Um nun zu prüfen ob es sich bei den Extrema um Maxima oder Minima handelt, kann man hier anhand verschiedener Lösungen vorgehen.


Lösung 1: Man bildet die zweite Ableitung und betrachtet das Krümmungsverhalten an den Extremwerten. Dazu setzt man einfach die t - Koordinate in die zweite Ableitung ein. Gib die Art der Extremwerte an.
[Lösung anzeigen]


Lösung 2: Mit Hilfe der h - Methode untersucht man, wie sich der Graph "ein Stückchen links und ein Stückchen rechts" von den beiden Extremwerten verhält. Dazu nimmt man die erste Ableitung, setzt einmal f '(t_1 - h) und einmal f '(t_1 + h) ein, um das Verhalten von Gf für t < 2a bzw t > 2a zu bestimmen. Hier ergeben sich je ein positiver und ein negativer Wert, welches die Steigung darstellt. Ist beispielsweise f '(t_1 - h) < 0 und f '(t_1 + h) > 0, dann liegt ein Minimum vor, da links vom Extremwert der Graph fällt, und rechts steigt. Mit dem selben Verfahren setzt man nun f '(t_2 - h) und f '(t_2 + h) ein und erhält somit, ob es sich um ein Maximum oder um ein Minimum handelt. Versuche auch, mit Hilfe der h - Methode, die Art der Extrempunkte zu bestimmen.


[Lösung anzeigen]


Lösung 3: Anhand des Graphen Gf kann man die Art der Extremwerte nachweisen.


Aufgabe: Wendepunkt

Es soll, in Abhängigkeit von a bestimmt werden, wann die Druchflussgeschwindigkeit besonders stark absinkt. Dieser Wert soll zum Zeitpunkt t berechnet werden.

Dazu schaut man sich die erste Ableitung näher an. Diese zeigt einem die Steigung des Graphen Gf.


Da es sich bei der ersten Ableitung um eine nach oben geöffnete Parabel handelt, ist das Minimum des Graphen gleichzeitig der Punkt, an dem die Steigung besonders stark abfällt. Wenn man von der Funktion f (t) ausgeht, ist der gesuchte Punkt der Wendepunkt. An ihm besitzt der Graph Gf den größten negativen Wert. Errechne diesen Wert.

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Aufgabe: Theoretische Überlegungen zur Funktion

Warum liegt kein Punkt der Funktionsgraphen von fa im Bereich t \ge 0 unterhalb der t - Achse und inwiefern ist dies mit dem zugrunde liegenden Sachverhalt vereinbar.

Begründe dies.

[Lösung anzeigen]


Es soll das Verhalten von fa für t \rightarrow \infty angegeben werden. Des Weiteren soll begründet werden, ob die Funktionen auch nach den ersten 8 Monate noch eine sinnvolle Beschreibung der Durchflussgeschwindigkeit liefern.

[Lösung anzeigen]
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Aufgabe: Flächenberechnung einer Funktion

Ermittle für a = 3, wie viel Liter Wasser in den ersten sechs Monaten durch den Fluss fließen.

Dazu wird die Funktion gesucht, deren Ableitung die Funktion fa (t) ist. Gebe diese Funktion an und errechne mit ihr für a = 3, wieviel Liter durch den Fluss geflossen sind.

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Aufgabe: Flächengleichheit zweier Funktionen

Betrachte nun zwei unterschiedliche Funktionen fa1 und fa2. Es soll der Zeitpunkt bestimmt werden, zu dem für beide Funktionsannahmen (seit t = 0) genau gleich viel Wasser durch den Fluss geflossen wäre.

Dazu werden zwei Integralfunktionen Fa1 und Fa2 gleichgesetzt und so weit wie möglich nach t aufgelöst.

[Lösung anzeigen]