LK Mathematik Abitur NRW 2007: Unterschied zwischen den Versionen
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Dazu schaut man sich die erste Ableitung näher an. Diese zeigt einem die Steigung des Graphen G<sub>f</sub>. <small> Im Applet ist die Funktion als f '(x) definiert, nicht als f '(t). </small> | Dazu schaut man sich die erste Ableitung näher an. Diese zeigt einem die Steigung des Graphen G<sub>f</sub>. <small> Im Applet ist die Funktion als f '(x) definiert, nicht als f '(t). </small> | ||
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| − | + | ==='''''<span style="color: darkorange">Ermittle für a = 3, wie viel Liter Wasser in den ersten sechs Monaten durch den Fluss fließen.</span>=== | |
<span style="color: darkblue">Dazu wird die Funktion gesucht, deren Ableitung die Funktion f<sub>a</sub> (t) ist. Gebe diese Funktion an und errechne mit ihr für a = 3, wieviel Liter durch den Fluss geflossen sind.</span> | <span style="color: darkblue">Dazu wird die Funktion gesucht, deren Ableitung die Funktion f<sub>a</sub> (t) ist. Gebe diese Funktion an und errechne mit ihr für a = 3, wieviel Liter durch den Fluss geflossen sind.</span> | ||
Version vom 3. Januar 2010, 15:03 Uhr
Angabe
Mit Hilfe der folgenden Funktion kann man beispielsweise die Wasserstände eines Flusses vorherzusagen. Diese Beschreibung der Durchflussgeschwindigkeit sei durch die Funktionenschar fa mit 
, a > 0
Die Funktion gibt dabei die Durchflussgeschwindigkeit in 106
und t die verstrichene Zeit in Monaten seit Beginn der Vorhersage
(t = 0) an. Die Funktion berücksichtigt, dass es sich um einen Fluss handelt, der zeitweise austrocknet.
Es soll bestimmt werden, abhängig vom Parameter a, zu welchen Monaten kein Wasser durch den Fluss fließt.
- Was fällt auf, wenn man mit Hilfe des Schiebereglers den Parameter a verändert? Im Applet ist die Funktion als f (x) definiert, nicht als f (t).
, unabhängig vom Parameter a, schneidet den Ursprung. Das ist die erste Nullstelle, welche der Graph besitzt. Sie ist also unabhänig von a Dies kann man leicht aus der Funktion ablesen, da man eben diese Nullstelle durch einfaches Ausklammern erhält.
Es soll, in Abhängigkeit von a, ermittelt werden, zu welchen Zeitpunkten t ein relatives Maximum bzw. Minimum vorliegt. Diese Funktionswerte sollen berechnet werden.
Um die Extremwerte einer Funktion zu errechnen, wird die erste Ableitung benötigt.
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Die allgemeine Ableitungsregel ist: |
n-1
- Bestimme nun die erste Ableitung der Funktion
- Bestimme nun die erste Ableitung der Funktion
- Errechne nun die Koordinaten der Extremwerte.
Am Besten sind die Extremwerte für a = 3 zu sehen.
Da sich hier die Koordinaten 
( 6 / 0 ) und 
( 2 / 8 ) ergeben.
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Man hat nun die Extremwerte in Abhängigkeit von a ermittelt. Um nun zu prüfen ob es sich bei den Extrema um Maxima oder Minima handelt, kann man hier anhand verschiedener Lösungen vorgehen.
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Rechtskrümmung 
ist Minimum
ist Maximum
) und einmal f '(
) ein, um das Verhalten von Gf für t < 2a bzw t > 2a zu bestimmen. Hier ergeben sich je ein positiver und ein negativer Wert, welches die Steigung darstellt. Ist beispielsweise f '(
) und f '(
) ein und erhält somit, ob es sich um ein Maximum oder um ein Minimum handelt. Versuche auch, mit Hilfe der h - Methode, die Art der Extrempunkte zu bestimmen.
und 
und 
Es soll, in Abhängigkeit von a bestimmt werden, wann die Druchflussgeschwindigkeit besonders stark absinkt. Dieser Wert soll zum Zeitpunkt t berechnet werden.
Dazu schaut man sich die erste Ableitung näher an. Diese zeigt einem die Steigung des Graphen Gf. Im Applet ist die Funktion als f '(x) definiert, nicht als f '(t).
Da es sich bei der ersten Ableitung um eine nach oben geöffnete Parabel handelt, ist das Minimum des Graphen gleichzeitig der Punkt, an dem die Steigung besonders stark abfällt. Wenn man von der Funktion f (t) ausgeht, ist der gesuchte Punkt der Wendepunkt. An ihm besitzt der Graph Gf den größten negativen Wert. Errechne diesen Wert.
Warum liegt kein Punkt der Funktionsgraphen von fa im Bereich 
unterhalb der t - Achse und inwiefern ist dies mit dem zugrunde liegenden Sachverhalt vereinbar.
Begründe dies.
Es soll das Verhalten von fa für 
angegeben werden. Des Weiteren soll begründet werden, ob die Funktionen auch nach den ersten 8 Monate noch eine sinnvolle Beschreibung der Durchflussgeschwindigkeit liefern.
geht die Funktion gegen + 
. Dieser Wasserstandswert wäre eine ziemlich grobe Abweichung vom Realwert. Aus diesem Grund handelt es sich bei der Funktion eher um eine Sinusähnliche Funktion, als um eine, die gen Unendlich exponential ansteigt. Dies würde heißen, dass das zweite Austrocknen auf der t - Achse verschoben wird, wieder als t = 0 definiert werden würde, und die Funktion fa (t) wieder von vorne starten würde.
Ermittle für a = 3, wie viel Liter Wasser in den ersten sechs Monaten durch den Fluss fließen.
Dazu wird die Funktion gesucht, deren Ableitung die Funktion fa (t) ist. Gebe diese Funktion an und errechne mit ihr für a = 3, wieviel Liter durch den Fluss geflossen sind.
![\left[ \frac{1}{16}t^4 - \frac{3*t^3}{3} + \frac{3^2*t^2}{2}\right ]_{0}^{6} = 27 - 0 = 27](/images/math/4/9/a/49a1f445fbc0fa11cad513f8131a8bd7.png)
