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+ | *Die Diagonale <math>{d\,}</math> über eine Seite des Würfels berechnet sich also wie folgt: | ||
+ | *<math>{d^2=(10cm)^2+(10cm)^2\,}</math> | ||
+ | *<math>d=\sqrt{100cm^2+100cm^2}=\sqrt{200}cm</math><br /><br /> | ||
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+ | *Da alle Diagonalen gleich lang sind, muss das gesuchte Dreieck, das als Seiten drei Diagonalen hat, gleichseitig sein | ||
+ | *Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich so: <math>A_D=\frac{1}{2} \cdot g \cdot h</math> | ||
+ | *Grundseite ist die Diagonale, es fehlt also noch die Höhe | ||
+ | *Die Idee zur Berechnung der Höhe in einem gleichseitigen Dreieck wurde bereits auf einem vorhergehenden Übungsblatt behandelt | ||
+ | *Du findest sie auf [[Lernpfad zur Satzgruppe des Pythagoras/Lösungen zum Übungsblatt zum Satz des Pythagoras|dieser Seite]] in '''Aufgabe 3'''<br /><br /> | ||
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+ | *<math>(\sqrt{200}cm)^2=(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{200}cm)^2+h^2</math> | ||
+ | *<math>h^2=(\sqrt{200}cm)^2-(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{200}cm)^2</math> | ||
+ | *<math>h=\sqrt{(\sqrt{200}cm)^2-(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{200}cm)^2}</math> | ||
+ | *<math>h=\sqrt{200cm^2-\frac{1}{4} \cdot 200cm^2}</math> | ||
+ | *<math>h=\sqrt{200cm^2-50cm^2}</math><br /> | ||
+ | *<math>h=\sqrt{150}cm</math><br /><br /> | ||
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+ | *Damit kann man den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen:<br /> | ||
+ | *<math>A_D=\frac{1}{2} \cdot g \cdot h</math> | ||
+ | *<math>A_D=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{200}cm \cdot \sqrt{150}cm \approx 86,60cm^2</math> | ||
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==Aufgabe 5== | ==Aufgabe 5== |
Version vom 25. Januar 2009, 15:40 Uhr
Arbeitsauftrag:
- Hole dir das Arbeitsblatt Die Satzgruppe des Pythagoras
- Fülle das Arbeitsblatt anhand der im Lernpfad gelernten Sätze aus
- HINWEIS: Solltest du dir bei einem der Sätze nicht mehr sicher sein, lies noch einmal im Heft oder im Lernpfad nach
- Vergleiche deine Lösungen mit den Einträgen aus dem Heft oder mit den entsprechenden Seiten des Lernpfades
Arbeitsauftrag:
- Hole dir das Übungsblatt zur Satzgruppe des Pythagoras
- Löse die Aufgaben und vergleiche sie mit den unten stehenden Lösungen
Aufgabe 1
a)
- Wenn das Dreieck
rechtwinklig ist, ergibt der Satz des Pythagoras eine wahre Aussage
- Man muss also den Satz des Pythagoras für das Dreieck ansetzen
- Dazu berechnet man zunächst die einzelnen Seitenlängen:
- Nun kann man den Satz des Pythagoras ansetzen
ist die längste Seite des Dreiecks und wäre auch die Hypotenuse
- Daraus folgt der Ansatz:
- Der Satz des Pythagoras ergibt eine wahre Aussage, also muss das Dreieck
rechtwinklig sein
b)
- Im Folgenden siehst du eine Skizze zur Aufgabenstellung:
- h soll berechnet werden, das geht über zwei Ansätze:
- 1) Höhe über den Satz des Pythagoras in einem der kleineren rechtwinkligen Dreiecke berechnen
- 2) Höhe über den Höhensatz berechnen
1.Möglichkeit:
- Man berechnet zunächst p oder q über den Kathetensatz:
- Danach setzt man den Satz des Pythagoras für das entsprechende rechtwinklige Dreieck an:
2.Möglichkeit:
- Man berechnet zunächst p oder q über den Kathetensatz:
- Danach berechnet man den fehlenden Hypotenusenabschnitt:
- Jetzt kann man die Höhe über den Höhensatz berechnen:
Aufgabe 2
- Wähle
,
und
- Die beiden Hypotenusenabschnitte ergeben addiert die Länge der Hypotenuse
- Die Höhe kann man über den Höhensatz berechnen:
- Die beiden Katheten können über den Kathetensatz berechnet werden:
- Wähle
anliegend an
und
anliegend an
- Die Länge der beiden Katheten könnte auch über den Satz des Pythagoras in den kleineren rechtwinkligen Dreiecken, die durch das Einzeichnen der Höhe entstehen, berechnet werden
- Die zweite Kathete könnte auch über den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck
berechnet werden
Aufgabe 3
- Die Bilddiagonale ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks (vgl. Grafik zu Aufgabe 20 in deinem Mathematik Buch auf S.48)
- Die Katheten verhalten sich dabei wie 16 Teile zu 9 Teilen
- Wähle ein Teil als
- Damit hat die Breite
und die Höhe
- Damit kann man den Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Dreieck ansetzen:
Die Breite beträgt
Der Fernseher passt in die Nische
Aufgabe 4
- Bei einem Würfel sind alle Kanten gleich lang
- Die Diagonale
über eine Seite des Würfels berechnet sich also wie folgt:
- Da alle Diagonalen gleich lang sind, muss das gesuchte Dreieck, das als Seiten drei Diagonalen hat, gleichseitig sein
- Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich so:
- Grundseite ist die Diagonale, es fehlt also noch die Höhe
- Die Idee zur Berechnung der Höhe in einem gleichseitigen Dreieck wurde bereits auf einem vorhergehenden Übungsblatt behandelt
- Du findest sie auf dieser Seite in Aufgabe 3
- Damit kann man den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen:
Aufgabe 5
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